Bài tập về giới hạn của dãy số
Bài toán giới hạn của dãy số là một chủ đề quan trọng trong Toán học, đặc biệt là trong Giải tích. Đây là phần kiến thức thường gặp trong các kỳ thi THPT Quốc gia, thi đại học, và các bài kiểm tra. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về các dạng bài tập giới hạn của dãy số....
 |
| Ảnh minh họa |
1. Giới hạn của dãy số là gì?
Giới hạn của một dãy số là giá trị mà dãy số đó tiến tới khi chỉ số của dãy tiến đến vô cùng. Nếu một dãy số có giới hạn hữu hạn, ta nói rằng dãy số đó hội tụ; ngược lại, nếu dãy không tiến đến một giá trị nhất định, dãy số đó phân kỳ.
2. Các dạng bài tập giới hạn của dãy số
Dưới đây là một số dạng bài tập giới hạn phổ biến của dãy số:
Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số dạng phân thức
Ví dụ: Tìm $\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 + 3n + 5}{n^2 + n + 1}$
Hướng dẫn giải:
- Bước 1: Phân tích tử và mẫu để thấy được bậc cao nhất của n trong mỗi thành phần.
- Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho bậc cao nhất của n.
- Bước 3: Sử dụng quy tắc về giới hạn để tính toán.
Lời giải:
$\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 + 3n + 5}{n^2 + n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{n} + \frac{5}{n^2}}{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}} = \frac{2}{1} = 2$.
Dạng 2: Tìm giới hạn của dãy số dạng căn thức
Ví dụ: Tính $\lim_{n \to \infty} \sqrt{n^2 + n} - n$.
Hướng dẫn giải:
- Bước 1: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
- Bước 2: Đơn giản hóa và sử dụng quy tắc giới hạn để tìm đáp án.
Lời giải
$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n^2 + n} - n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2 + n} + n} = \frac{1}{2}$.
3. Bài tập đề nghị giới hạn dãy số
Phần 1. Trắc nghiệm nhiều phương án
Câu 1. Phát biểu nào sau đây là sai?
A. $\lim {u_n} = c$($c$ là hằng số).
B. $\lim_{n \to +\infty} c = c$.
C. $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$.
D. $\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0$.
Câu 2. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $\lim_{n \to +\infty} (-1)^n = 1$.
B. $\lim_{n \to +\infty} \frac{n+1}{n-1} = 0$.
C. $\lim_{n \to +\infty} \frac{n}{n+1} = 1$.
D. $\lim_{n \to +\infty} (c^n) = 0$ (c là hằng số).
Câu 3. $\lim_{n \to +\infty} \frac{2n + 1}{n}$ bằng
A. 1. B. $\frac{1}{2}$. C. 2. D. $\frac{3}{2}$.
Câu 4. $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + 2n + 1}{n^2}$ bằng
A. $\frac{1}{2}$. B. 2. C. 1. D. $\frac{3}{2}$.
Câu 5. Cho $u_n = \frac{n^2 + 1}{n}$. Khi đó giá trị của $\lim_{n \to +\infty} u_n$ bằng
A. 1. B. $\frac{1}{2}$. C. $\frac{3}{2}$. D. $+\infty$.
Câu 6. Giới hạn $\lim_{n \to +\infty} \frac{3n - 1}{n + 2}$ bằng
A. $\frac{3}{2}$. B. $\frac{1}{2}$. C. 3. D. $+\infty$.
Câu 7. Giới hạn $\lim_{n \to +\infty} \frac{2n^2 + 1}{n^2 + n}$ bằng
A. $\frac{1}{2}$. B. $\frac{3}{2}$. C. 2. D. $+\infty$.
Câu 8. Cho dãy $u_n = 3n - 2$ có $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$, dãy $v_n = 5n - 1$ có $\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty$. Khi đó $\lim_{n \to +\infty} (u_n + v_n)$
A. 15. B. 3. C. 8. D. 5.
Câu 9. $\lim_{n \to +\infty} \frac{2n^2 + 1}{n - 1}$ bằng
A. 0. B. 2. C. 4. D. 5.
Câu 10. $\lim_{n \to +\infty} \frac{3n^3 + 2n - 1}{n^2 + n}$ bằng
A. $+\infty$. B. $-\infty$. C. $3$. D. $0$.
Câu 11. Giá trị của $\lim_{n \to +\infty} \frac{2n^3 - 3n + 1}{n^3 + 1}$ bằng
A. 1. B. 2. C. 0. D. 3.
Câu 12. Kết quả của giới hạn $\lim_{n \to +\infty} \frac{n + 1}{n^2 + 1}$ bằng
A. $\frac{1}{2}$. B. $1$. C. $+\infty$. D. $0$.
Câu 13. Giá trị của $\lim_{n \to +\infty} \frac{3n^2 + 1}{n^3 - 2n + 1}$ bằng
A. $\frac{3}{2}$. B. $0$. C. $+\infty$. D. $1$.
Câu 14. Giới hạn $\lim_{n \to +\infty} \frac{n + 1}{n - 1}$ bằng
A. $+\infty$. B. 2. C. $\frac{1}{2}$. D. 0.
Câu 15. Giá trị của giới hạn $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + 1}{n + 1}$ bằng
A. $\frac{1}{2}$. B. $+\infty$. C. $0$. D. $1$.
Câu 16. Giá trị $\lim_{n \to +\infty} \frac{2n^2 + 1}{n^3 + 1}$ bằng
A. $\frac{1}{2}$. B. $0$. C. $+\infty$. D. $1$.
Câu 17. Giá trị $\lim_{n \to +\infty} \frac{2n^3 + 1}{n^2 + 1}$ bằng
A. $+\infty$. B. $0$. C. $2$. D. $1$.
Câu 18. $\lim_{n \to +\infty} \frac{n + 1}{n^2 + 1}$ bằng
A. $+\infty$. B. $0$. C. $1$. D. $2$.
Câu 19. Cho biết $\lim_{n \to +\infty} \frac{2n + 1}{n} = 2$. Giá trị của $\lim_{n \to +\infty} \frac{2n + 1}{2n}$ bằng
A. $\frac{1}{2}$. B. 1. C. $\frac{3}{2}$. D. 3.
Câu 20. Cho dãy số $u_n = \frac{n}{n + 1}$ thỏa mãn $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$. Giá trị của $\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{2}$ bằng
A. $\frac{1}{2}$. B. 1. C. $\frac{3}{2}$. D. 3.
Câu 21. Cho biết $\lim_{n \to +\infty} \frac{2n + 1}{n} = 2$. Giá trị của $\lim_{n \to +\infty} \frac{2n + 1}{n^2}$ bằng
A. $+\infty$. B. $0$. C. $2$. D. $1$.
Câu 22. Giá trị của $a$ để $\lim_{n \to +\infty} \frac{an^2 + 1}{n^2 + 1} = 2$ là
A. 0. B. 1. C. 2. D. 6
Câu 23. Biết rằng $\lim_{n \to +\infty} \frac{3n^2 + 1}{n^3 - 2n + 1} = 0$. Tính giá trị của biểu thức $\lim_{n \to +\infty} \frac{3n^2 + 1}{n^4 - 2n + 1}$
A. $\frac{3}{2}$. B. $0$. C. $+\infty$. D. $1$.
Phần 2. Trắc nghiệm đúng/sai
Câu 1. Biết giới hạn $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + 1}{n^3 - 2n + 1} = 0$. Khi đó các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Giá trị $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + 1}{n^3 - 2n + 1}$ lớn hơn 0.
b) Ba số $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + 1}{n^3 - 2n + 1}$, $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + 1}{n^4 - 2n + 1}$, $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + 1}{n^5 - 2n + 1}$ tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + 1}{n^4 - 2n + 1}$.
c) Trên khoảng $(0; +\infty)$ phương trình lượng giác $\sin(x) = \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + 1}{n^3 - 2n + 1}$ có 3 nghiệm.
d) Cho cấp số nhân $(u_n)$ với công bội $q = \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + 1}{n^3 - 2n + 1}$ và $u_1 = 1$, thì $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$.
Câu 2. Biết giới hạn $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + 1}{n + 1} = +\infty$ và $\lim_{n \to +\infty} \frac{n + 1}{n^2 + 1} = 0$. Khi đó Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Giá trị $\lim_{n \to +\infty} \frac{n + 1}{n^2 + 1}$ nhỏ hơn 0.
b) Giá trị $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + 1}{n + 1}$ lớn hơn 0.
c) Phương trình lượng giác $\cos(x) = \lim_{n \to +\infty} \frac{n + 1}{n^2 + 1}$ có một nghiệm là $\frac{\pi}{2}$.
d) Cho cấp số cộng $(u_n)$ với công sai $d = \lim_{n \to +\infty} \frac{n + 1}{n^2 + 1}$ và $u_1 = 1$, thì $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.
Câu 3. Biết giới hạn $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + 1}{n^3 - 2n + 1} = 0$ và $\lim_{n \to +\infty} \frac{n + 1}{n^2 + 1} = 0$. Khi đó các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + 1}{n^3 - 2n + 1} = 0$.
b) $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + 1}{n^3 - 2n + 1}$ là hoành độ giao điểm của đường thẳng $y = 0$ với trục hoành.
c) $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + 1}{n^3 - 2n + 1}$ là tung độ giao điểm của đường thẳng $x = 0$ với trục tung.
d) Cho cấp số cộng $(u_n)$ với công sai $d = \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + 1}{n^3 - 2n + 1}$ và $u_1 = 1$, thì $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$.
Câu 4. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) $\lim_{n \to +\infty} (-1)^n = 0$.
b) $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$.
c) $\lim_{n \to +\infty} \frac{n + 1}{n} = 1$.
d) $\lim_{n \to +\infty} n = 0$.
Câu 5. Tìm được tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau: $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} - ...$ và $\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + ...$ Khi đó các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) $\frac{3}{2}$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội $-\frac{1}{3}$.
b) $1$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội $\frac{1}{2}$.
c) $\lim_{n \to +\infty} (1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} - ... + \frac{(-1)^{n-1}}{3^{n-1}}) = \frac{3}{2}$.
d) $\lim_{n \to +\infty} (\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + ... + \frac{1}{2^{n-1}}) = 1$.
Phần 3. Trả lời ngắn
Câu 1:
a) Tính tồng của cấp số nhân lùi vô hạn $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} - ...$ với $u_1 = 1, q = -\frac{1}{3}$.
b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,(3) dưới dạng phân số.
Câu 2. Tính các giới hạn sau:
a) $\lim_{n \to +\infty} \frac{2n^2 + 1}{n^3 + 1}$. b) $\lim_{n \to +\infty} \frac{2n^3 + 1}{n^2 + 1}$.
c) $\lim_{n \to +\infty} \frac{n + 1}{n^2 + 1}$. d) $\lim_{n \to +\infty} \frac{n + 1}{n - 1}$.
e) $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + 1}{n + 1}$. g) $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + 1}{n^3 - 2n + 1}$.
Qua bài viết, hy vọng bạn đã hiểu rõ hơn về các dạng bài tập giới hạn của dãy và cách giải chi tiết từng dạng bài tập. Đừng ngần ngại để lại câu hỏi hoặc chia sẻ bài viết nếu bạn thấy hữu ích!
Nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào về giới hạn của dãy số hoặc các chủ đề toán học khác, hãy để lại bình luận dưới đây hoặc liên hệ với chúng tôi để được giải đáp!
Tham khảo thêm bài viết:
Tags: #Toán 11
