Bài tập hàm số liên tục - Hướng dẫn giải chi tiết
Bài viết trình bày các bài toán về chủ đề Hàm số liên tục, các dạng bài tập và hướng dẫn giải chi tiết
 |
| Ảnh minh họa |
1. Hàm số liên tục tại một điểm:
y = f(x) liên tục tại $x_0$ $ \Leftrightarrow $ $\mathop {\lim
}\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})$
Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm $x_0$ ta thực hiện các bước:
B1: Tính $f(x_0)$.
B2: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$ (trong nhiều trường hợp ta cần tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x)$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x)$)
B3: So sánh $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$ với $f(x_0)$ và rút ra kết luận.
Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm $x_0$ ta thực hiện các bước:
B1: Tính $f(x_0)$.
B2: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$ (trong nhiều trường hợp ta cần tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x)$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x)$)
B3: So sánh $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$ với $f(x_0)$ và rút ra kết luận.
2. Hàm số liên tục trên một khoảng:
Hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó tại mọi điểm thuộc khoảng (a;b).3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]:
Hàm số y = f(x) liên tục
trên đoạn [a;b] nếu hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) =
f(a),\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x) = f(b)\]
4. Định lí về tính liên tục của một số hàm số cơ bản
· Hàm số đa thức liên tục trên R.
· Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
· Giả sử $y = f(x), y = g(x)$ liên tục tại điểm $x_0$. Khi đó:
+ Các hàm số $y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x)$ liên tục tại $x_0$.
+ Hàm số y = $\frac{{f(x)}}{{g(x)}}$ liên tục tại $x_0$ nếu $g(x_0)$ $ \ne $ 0.
· Nếu $y = f(x)$ liên tục trên $[a; b]$ và $f(a). f(b)< 0$ thì tồn tại ít nhất một số c $ \in $ (a; b): f(c) = 0.
Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c $\in$ (a; b).
Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]. Đặt m = $\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x)$, M = $\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x)$. Khi đó với mọi T Î (m; M) luôn tồn tại ít nhất một số c Î (a; b): f(c) = T.
a) $f(x) = \left\{ \begin{gathered}
\frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}} & khi\,\,x \ne 2 \hfill \\
a & khi\,\,x = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
b) $f(x) = \left\{ \begin{gathered}
{x^2} + x & & khi\,\,x < 1 \hfill \\
ax + 1 & & khi\,\,x \geqslant 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
· Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
· Giả sử $y = f(x), y = g(x)$ liên tục tại điểm $x_0$. Khi đó:
+ Các hàm số $y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x)$ liên tục tại $x_0$.
+ Hàm số y = $\frac{{f(x)}}{{g(x)}}$ liên tục tại $x_0$ nếu $g(x_0)$ $ \ne $ 0.
· Nếu $y = f(x)$ liên tục trên $[a; b]$ và $f(a). f(b)< 0$ thì tồn tại ít nhất một số c $ \in $ (a; b): f(c) = 0.
Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c $\in$ (a; b).
Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]. Đặt m = $\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x)$, M = $\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x)$. Khi đó với mọi T Î (m; M) luôn tồn tại ít nhất một số c Î (a; b): f(c) = T.
5. Các bài tập đề nghị
Bài 1. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x = 1
a) $f(x) = \begin{cases} \frac{x+3}{x-1} & \text{khi } x \ne 1 \\ -1 & \text{khi } x = 1 \end{cases}$
b) $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1} & \text{khi } x \ne 1 \\ \frac{1}{4} & \text{khi } x = 1 \end{cases}$
Bài 2. Tìm a để hàm số liên tục tại điểm x = 1
a) $f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{khi } x < 1 \\ 2ax - 3 & \text{khi } x \ge 1 \end{cases}$
b) $f(x) = \begin{cases} \frac{x^3 - x^2 + 2x - 2}{x - 1} & \text{khi } x \ne 1 \\ 3x + a & \text{khi } x = 1 \end{cases}$
Bài 3. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
a) $f(x) = \begin{cases} \frac{x^3 + x + 2}{x^3 + 1} & \text{khi } x \ne -1 \\ \frac{4}{3} & \text{khi } x = -1 \end{cases}$
b) $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 4}{x + 2} & \text{khi } x \ne -2 \\ -4 & \text{khi } x = -2 \end{cases}$
c) $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 2}{x - \sqrt{2}} & \text{khi } x \ne \sqrt{2} \\ 2\sqrt{2} & \text{khi } x = \sqrt{2} \end{cases}$
Bài 4. Tìm các giá trị của a để các hàm số sau liên tục trên
tập xác định của chúng:a) $f(x) = \left\{ \begin{gathered}
\frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}} & khi\,\,x \ne 2 \hfill \\
a & khi\,\,x = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
b) $f(x) = \left\{ \begin{gathered}
{x^2} + x & & khi\,\,x < 1 \hfill \\
ax + 1 & & khi\,\,x \geqslant 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
