Bài tập giới hạn của hàm số
Bài viết này chia sẻ các công thức cơ bản, các dạng bài tập giới hạn của hàm số, giúp các em học tập hiệu quả chủ đề này.
1. Các nội dung cần ôn tập về giới hạn hàm số
- Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm, tại vô cực
- Giới hạn vô cực (một phía) của hàm số tại một điểm
- Giới hạn vô cực của hàm số tại vô cực.
2. Các dạng bài tập về giới hạn của hàm số
Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Câu 1: Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {3{x^2} +
7x + 11} \right)$ là:
A. 37.
B. 38.
C. 39.
D. 40.
Câu 2: Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left|
{{x^2} - 4} \right|$ là:
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Câu 3: Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2}\sin
\frac{1}{2}$ là:
A. $\sin \frac{1}{2}$.
B. $ + \infty $.
C. $ - \infty $.
D. 0.
Câu 4: Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1}
\frac{{{x^2} - 3}}{{{x^3} + 2}}$ là:
A. $1$.
B. $ - 2$.
C. $2$.
D. $ - \frac{3}{2}$.
Câu 5: Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x -
{x^3}}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^4} - 3} \right)}}$ là:
A. $1$.
B. $ - 2$.
C. $0$.
D. $ - \frac{3}{2}$.
Câu 6: Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1}
\,\,\frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{{x^4} + x - 3}}$ là:
A$ - \frac{3}{2}$.
B. $\frac{2}{3}$.
C. $\frac{3}{2}$.
D. $ - \frac{2}{3}$.
Câu 7: Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \sqrt
{\frac{{9{x^2} - x}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^4} - 3} \right)}}} $
là:
A. $\frac{1}{5}$.
B. $\sqrt 5 $.
C. $\frac{1}{{\sqrt 5 }}$.
D. $5$.
Câu 8: Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2}
\sqrt[3]{{\frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} + 2x}}}}$ là:
A. $\frac{1}{4}$.
B. $\frac{1}{2}$.
C. $\frac{1}{3}$.
D. $\frac{1}{5}$.
Câu 9: Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2}
\frac{{\sqrt[3]{{3{x^2} - 4}} - \sqrt {3x - 2} }}{{x + 1}}$ là:
A. $ - \frac{3}{2}$.
B. $ - \frac{2}{3}$.
C. $0$.
D. $ + \infty $.
Câu 10: Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty }
{\mkern 1mu} \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right)$ là:
A. $0$.
B. $ + \infty $.
C. $\sqrt 2 - 1$.
D. $ - \infty $.
Câu 11: Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty }
{\mkern 1mu} \left( {\sqrt[3]{{3{x^3} - 1}} + \sqrt {{x^2} + 2} } \right)$ là:
A. $\sqrt[3]{3} + 1$.
B. $ + \infty $.
C. $\sqrt[3]{3} - 1$.
D. $ - \infty $.
Câu 12: Kết quả của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }}
\frac{{\sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {x - 2} }}$ là:
A. $ - \infty $.
B. $ + \infty $.
C. $ - \frac{{15}}{2}$.
D. Không xác định.
Câu 13: Kết quả của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty }
\frac{{\sqrt {4{x^2} - 2x + 1} + 2 - x}}{{\sqrt {9{x^2} - 3x} +
2x}}$ là:
A. $ - \frac{1}{5}$.
B. $ + \infty $.
C. $ - \infty $.
D. $\frac{1}{5}$.
Câu 14: Kết quả của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2}
\right)}^ + }} \frac{{\left| {3x + 6} \right|}}{{x + 2}}$ là:
A. $ - \infty $.
B. $3$.
C. $ + \infty $.
D. Không xác định.
Câu 15: Kết quả của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }}
\frac{{\left| {2 - x} \right|}}{{2{x^2} - 5x + 2}}$ là:
A. $ - \infty $.
B. $ + \infty $.
C. $ - \frac{1}{3}$.
D. $\frac{1}{3}$.
Câu 16: Kết quả của giới hạn $\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }}
\frac{{{x^2} + 13x + 30}}{{\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} + 5}
\right)} }}$ là:
A. $ - 2$.
B. $2$.
C. $0$.
D. $\frac{2}{{\sqrt {15} }}$.
Câu 17: Cho hàm số $f(x) = \begin{cases}\frac{{2x}}{{\sqrt {1 - x} }}\,\, với \,\,x<1\\ \sqrt {3{x^2} + 1} \,\, với \,\,x \geqslant 1\end{cases}$ . Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x
\right)$ là:
A. $ + \infty $.
B. $2$.
C. $4$.
D. $ - \infty $.
Câu 18: Cho hàm số $f(x) = \begin{cases}\frac{{{x^2} + 1}}{{1 - x}}\,\, với \,\,x<1\\ {\sqrt {2x - 2} } \,\, với \,\,x \geqslant 1\end{cases}$. Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x
\right)$ là:
A. $ + \infty $.
B. $ - 1$.
C. $0$.
D. $1$.
Câu 19: Cho hàm số $f(x) = \begin{cases}{x^2} - 3\,\, với \,\,x \geqslant 2\\ x - 1 \,\, với \,\,x< 2\end{cases}$. Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x
\right)$ là:
A. $ - 1$.
B. $0$.
C. $1$.
D. Không tồn tại.
Câu 20: Biết rằng $a + b = 4$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}
\,\,\,\left( {\frac{a}{{1 - x}} - \frac{b}{{1 - {x^3}}}} \right)$ hữu hạn.
Tính giới hạn $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\,\left( {\frac{b}{{1
- {x^3}}} - \frac{a}{{1 - x}}} \right)$.
A. $1$.
B. $2$.
C. $1$.
D. $ - 2$.
Câu 21: Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty }
\left( {\sqrt {1 + 2{x^2}} - x} \right)$ là:
A. $0$.
B. $ + \infty $.
C. $\sqrt 2 - 1$.
D. $ - \infty $.
Câu 22: Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty }
\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)$ là:
A. $0$.
B. $ + \infty $.
C. $\frac{1}{2}$.
D. $ - \infty $.
Câu 23: Giá trị của giới hạn $\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty }
\left( {\sqrt {{x^2} + 3x} - \sqrt {{x^2} + 4x} } \right)$ là:
A. $\frac{7}{2}$.
B. $ - \frac{1}{2}$.
C. $ + \infty $.
D. $ - \infty $.
Phần 2. Trắc nghiệm đúng/sai
Câu 1. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {{x^2} - x + 3} \right) =
9$.
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 6} \sqrt {\frac{1}{{x + 3}}} = 3$.
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}} = 1$.
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{2{x^2} + 3x + 1}}{{{x^2} -
1}} = \frac{1}{3}$.
Câu 2. $f(x) = \begin{cases}{x - 2}\,\, với \,\,x<-1\\ \sqrt {{x^2} + 1} \,\, với \,\,x \geqslant -1\end{cases}$. Khi đó: Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Giới hạn$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f(x) = \sqrt 5 $.
b) Giới hạn$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x) = - 3$.
c) Giới hạn$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f(x) = \sqrt 2 $.
d) Hàm số tồn tại giới hạn khi $x \to - 1$.
Câu 3. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( { - 5{x^3} - 4x + 2} \right) = 2$.
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{2x - 3{x^2}}}{{4x + 1}}
= - \frac{3}{4}$.
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 5} \frac{{{x^2} + 2x - 15}}{{x + 5}}
= + \infty $.
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 4} \frac{{{x^2} + 3x - 4}}{{{x^2} +
4x}} = \frac{5}{4}$.
Câu 4. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{x}{{x + 1}} = \frac{2}{3}$.
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = -
\infty $.
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{{x^2} - 3x}}{{{x^2} - 6x +
9}} = + \infty $.
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left[ {\left( {{x^3} - 1}
\right)\left( {\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 1}}} } \right)} \right] = +
\infty $.
Câu 6. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^2} + 3} \right)
= + \infty $.
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} +
x} - x} \right) = - \infty $.
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{x + 2}} = 0$.
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\frac{{2x}}{{x +
3}}} = 2$.
Bài viết chia sẻ kiến thức cơ bản, các dạng bài tập cơ bản, hướng dẫn giải chi tiết các dạng bài tập về giới hạn của hàm số
Nếu còn những thắc mắc về các dạng bài tập chưa được giải đáp, em có thể để lại comment bên dưới phần bình luận để được giải đáp sớm nhất.
Tags: #Toán 11
