Phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0$
Việc tìm nghiệm phương trình bậc hai có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực
như:
- Toán học: Phương trình bậc hai thường được sử dụng trong các bài toán về đồ thị hàm số và xác định đỉnh và đáy của đồ thị, tìm cực tri của hàm số.
- Kỹ thuật: Phương trình bậc hai được sử dụng trong các bài toán tính toán kỹ thuật như tìm đáp án của các vấn đề liên quan đến lực và điện.
- Kinh tế: Phương trình bậc hai được sử dụng trong các bài toán tính toán kinh tế như tìm phương án cho các vấn đề liên quan đến tài chính và tính lợi nhuận.
- Vật lý: Phương trình bậc hai được sử dụng để tính toán vật lý như tìm kết quả cho các vấn đề liên quan đến vận tốc, gia tốc và độ cao.
Bài viết này Trình bày cách giải phương trình bậc hai và các công thức liên
quan.
Phương trình bậc hai
Khái niệm
Phương trình bậc hai một ẩn ( nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng: $$\boxed{ax^2 + bx + c = 0}$$
trong đó x là ẩn; a, b, c là các số thực cho trước gọi là các hệ số và $a \ne 0$.
Biệt thức $\Delta$
Công thức tính biệt thức $\Delta = b^2 - 4ac$
Nghiệm của phương trình bậc hai
Giá trị $x_0$ được gọi là nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ khi và chỉ khi $a{x_0}^2 + b{x_0} + c = 0$
Ví dụ:
a) $2x^2 + x + 3 = 0$ là phương trình bậc hai với các hệ số $a = 2; b = 1; c = 3$.
b) $x^2 - x = 0$ là phương trình bậc hai với các hệ số $a = 1; b = -1; c = 0.$
c) $-2x^2 - 8 = 0$ là phương trình bậc hai với các hệ số $a = -2; b = 0; c = -8.$
Công thức nghiệm phương trình bậc hai
Đối với phương trình: $ax^2 + bx + c = 0 (a \ne 0)$
Gọi $\Delta = b^2 - 4ac$
+ Nếu $\Delta < 0$ phương trình vô nghiệm.
+ Nếu $\Delta = 0$ phương trình có nghiệm kép $x_1 = x_2 = \frac {-b}{2a}.$
+ Nếu $\Delta > 0$ phương trình có hai nghiệm phân biệt
$x_1 = \frac {-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$; $x_2 = \frac {-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$
Ví dụ:
Áp dụng công thức nghiệm để giải các phương trình sau:
a) $5x^2 - x + 2 = 0$
b) $x^2 - 1 = 0$
c) $x^2 +6x = 0$
Giải
a) $5x^2 - x + 2 = 0$
* Tính $\Delta = b^2 - 4ac$
Phương trình có các hệ số $a = 5, b = -1; c = 2.$
$$\Delta = (-1)^2 - 4.5.2 = -39$$
* Do $\Delta < 0$ nên phương trình vô nghiệm.
b) $x^2 - 1 = 0$
* Tính $\Delta = b^2 - 4ac$
Phương trình có các hệ số $a = 1, b = 0; c = -1.$
$$\Delta = (0)^2 - 4.1.(-1) = 4$$
* Do $\Delta > 0$, áp dụng công thức nghiệm, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
$x_1 = \frac {-0 + \sqrt{4}}{2.1} = 1$; $x_2 = \frac {-0 - \sqrt{4}}{2.1} = -1.$
c) $x^2 +6x = 0$
* Tính $\Delta = b^2 - 4ac$
Phương trình có các hệ số $a = 1, b = 6; c = 0.$
$$\Delta = (6)^2 - 4.1.(0) = 36$$
* Do $\Delta > 0$, áp dụng công thức nghiệm, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
$x_1 = \frac {-6 + \sqrt{36}}{2.1} = 0$; $x_2 = \frac {-6 - \sqrt{36}}{2.1} = -6.$
Các trường hợp đặc biệt
+ Nếu $b = 2*b'$
Đối với phương trình: $ax^2 + 2.b'x + c = 0 (a \ne 0)$
Gọi $\Delta' = b'^2 - ac$
+ Nếu $\Delta' < 0$ phương trình vô nghiệm.
+ Nếu $\Delta' = 0$ phương trình có nghiệm kép $x_1 = x_2 = \frac {-b}{2a}.$
+ Nếu $\Delta' > 0$ phương trình có hai nghiệm phân biệt
$x_1 = \frac {-b' + \sqrt{\Delta'}}{a}$; $x_2 = \frac {-b' - \sqrt{\Delta'}}{a.}$
+ Trường hợp: $a + b +c = 0$ phương trình có hai nghiệm $x_1 = 1, x_2 = \frac {c}{a}.$
+ Trường hợp: $a - b +c = 0$ phương trình có hai nghiệm $x_1 = -1, x_2 = \frac {-c}{a}.$
Định lí Vi - et
Hai số $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình $ax^2 + bx + c = 0 (a \ne 0)$ khi và chỉ khi chúng thỏa mãn các hệ thức $S = \frac {-b}{a}$, $P = \frac {c}{a}.$
