Véc tơ trong không gian - Toán 11
1. Định nghĩa và các phép toán véc tơ trong không gian
Các định nghĩa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được
xây dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng.
Tham khảo thêm bài viết: Véc tơ - Toán 10
2. Phép toán véc tơ
+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B,
C bất kỳ, ta có:
$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$.
+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có:
$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} $.
+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp
ABCD.A'B'C'D', ta có:
$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} =
\overrightarrow {AC'} $.
+
Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: Cho
I là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta có:
$\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \vec 0$ và
$\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OI} $ với O là điểm bất kì
+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G
là trọng tâm của tam giác ABC, ta có:
$\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} =
\vec 0 $ và $ \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} +
\overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} $ với O là điểm bất kì
+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G
là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta có:
$\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} +
\overrightarrow {GD} = \vec 0 $ và $ \overrightarrow {OA} +
\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} =
4\overrightarrow {OG} $.
+
Điều kiện hai vectơ cùng phương: $\vec b = k\vec a$
+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k ($k \ne 1$), O tuỳ ý. Ta có:
$\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {MB}$ và
$ \overrightarrow {OM} = \frac{{\overrightarrow {OA} - k\overrightarrow
{OB} }}{{1 - k}}$.
2. Sự đồng phẳng của ba vectơ
a. Định nghĩa.
Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.b. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng
+ Cho ba vectơ $\vec a,\vec b,\vec c$, trong đó $\vec a,\vec b$ không cùng phương. Khi đó: $\vec a,\vec b,\vec c$ đồng phẳng
$\exists m, n \in \mathbb{R}$: $\vec c = m\vec a + n\vec b$ và m, n là duy nhất.
+ Cho ba vectơ $\vec a,\vec b,\vec c$ không đồng phẳng, $\vec x$ tuỳ ý.
Khi đó: $\exists m, n,p \in \mathbb{R}$: $\vec x = m\vec a + n\vec b + p\vec
c$ và m, n, p là duy nhất.
3. Tích vô hướng của hai vectơ
a. Góc giữa hai vectơ trong không gian
Trong không gian cho hai véc tớ $\vec u, \vec v$.
Từ một điểm A bất kì vẽ $\overrightarrow {AB} = \vec u,\overrightarrow {AC} = \vec v$ ta có $(\vec u,\vec v) = \widehat {BAC}$
Nhận xét. $\left( {{0^0} \le \widehat {BAC} \le {{180}^0}} \right)$
Từ một điểm A bất kì vẽ $\overrightarrow {AB} = \vec u,\overrightarrow {AC} = \vec v$ ta có $(\vec u,\vec v) = \widehat {BAC}$
Nhận xét. $\left( {{0^0} \le \widehat {BAC} \le {{180}^0}} \right)$
b. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
+ Trong không gian cho hai véc tơ $\vec u,\vec v \ne \vec 0$. Khi đó tích vô hướng của hai véc tơ là một số thực và được tính bằng
công thức:
$\vec u.\vec v = \left| {\vec u} \right|.\left| {\vec v} \right|.\cos
(\vec u,\vec v)$
Đặc biệt:
$\vec u \bot \vec v \Leftrightarrow \vec u.\vec v = 0$
Qui ước: nếu
$\vec u = \vec 0$ hoặc $\vec v = \vec 0$ thì $\vec u.\vec v = 0$
3. Các dạng bài tập véc tơ trong không gian
Bài toán 1. Chứng minh đẳng thức vectơ
Phương pháp giải.
Sử dụng qui tắc các phép toán về vectơ và các hệ thức vectơ được nêu ở phần lưu ý biến đổi vế trái thành về phải hoặc ngược lại.
Ví dụ.
Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD, I là
trung điểm của EF.
a) Chứng minh:
$\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} +
\overrightarrow {ID} = \vec 0$.
b) Chứng minh:$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} +
\overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MI} $ , với M tuỳ ý.
c) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng cố định (P) sao cho:
$\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow
{MC} + \overrightarrow {MD} } \right|$ nhỏ nhất.
Giải.
a) Ta có Vế trái = $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} +
\overrightarrow {ID}$
$ = \overrightarrow {IE} + \overrightarrow {EA} + \overrightarrow {IE} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {IF} + \overrightarrow {FC} + \overrightarrow {IF} + \overrightarrow {FD} $
$ = 2(\overrightarrow {IE} + \overrightarrow {IF} ) + (\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} ) + (\overrightarrow {FC} + \overrightarrow {FD} )$
Vì I là trung điểm EF, E là trung điểm AB và F là trung điểm CD nên
$\overrightarrow {IE} + \overrightarrow {IF} = \vec 0,\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} = \vec 0,\overrightarrow {FC} + \overrightarrow {FD} = \vec 0$
$ = \overrightarrow {IE} + \overrightarrow {EA} + \overrightarrow {IE} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {IF} + \overrightarrow {FC} + \overrightarrow {IF} + \overrightarrow {FD} $
$ = 2(\overrightarrow {IE} + \overrightarrow {IF} ) + (\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} ) + (\overrightarrow {FC} + \overrightarrow {FD} )$
Vì I là trung điểm EF, E là trung điểm AB và F là trung điểm CD nên
$\overrightarrow {IE} + \overrightarrow {IF} = \vec 0,\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} = \vec 0,\overrightarrow {FC} + \overrightarrow {FD} = \vec 0$
Dó đó$2(\overrightarrow {IE} + \overrightarrow {IF} ) + (\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} ) + (\overrightarrow {FC} + \overrightarrow {FD} ) = \vec 0$= Vế phải.
Vậy $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \vec 0$.
b) Với điểm M tùy ý ta có VT =$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD}$
= $\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {ID} $
= $ 4\overrightarrow {MI} + \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} } \right)$
Từ ý a) $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \vec 0$ nên $\overrightarrow {MI} + \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} } \right) = 4\overrightarrow {MI} $= VP
Vậy $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \vec 0$.
b) Với điểm M tùy ý ta có VT =$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD}$
= $\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {ID} $
= $ 4\overrightarrow {MI} + \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} } \right)$
Từ ý a) $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \vec 0$ nên $\overrightarrow {MI} + \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} } \right) = 4\overrightarrow {MI} $= VP
$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MI} $
c) Từ ý b)
c) Từ ý b)
$\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right| = \left| {4\overrightarrow {MI} } \right|$
Đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (P)
Bài toán 2. Chứng minh ba vectơ đồng phẳng
Phương pháp giải
Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong các cách:
+ Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng.
+ Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: nếu có $m, n \in \mathbb{R}: $\vec c = m\vec a + n\vec b$ thì $\vec a, \vec b, \vec c$ đồng phẳng
+ Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: nếu có $m, n \in \mathbb{R}: $\vec c = m\vec a + n\vec b$ thì $\vec a, \vec b, \vec c$ đồng phẳng
Tham khảo thêm bài viết: Bài toán chứng minh đường thẳng và mặt phẳng song song.
Bài toán 3. Phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng
Phương pháp giải
Để phân tích một vectơ $\vec x $ theo ba vectơ không đồng phẳng $\vec a, \vec b, \vec c$, ta tìm các số m, n, p sao cho: $\vec x = m\vec a + n\vec b + p\vec c$
Ví dụ. Cho tam giác ABC.
Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Trên đoạn SA lấy điểm M sao
cho
$\overrightarrow {MS} = - 2\overrightarrow {MA} $ và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho
$\overrightarrow {NB} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {NC} $. Chứng minh rằng ba vectơ
$\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {SC} $ đồng phẳng.
Giải
Hướng dẫn: Chứng minh. $\overrightarrow {MN} = \frac{2}{3}\overrightarrow
{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {SC} $
Bài toán 4. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
Phương pháp giải
Áp dụng công thức: $\vec u.\vec v = \left| {\vec u} \right|.\left| {\vec v} \right|.\cos (\vec u,\vec v)$
Ví dụ. Cho hình lập phương
ABCD.A'B'C'D' cạnh a
a) Xác định góc giữa các cặp vectơ: $\overrightarrow {AB}$ và
$ \overrightarrow {A'C'} $ , $\overrightarrow {AB} $ và $
\overrightarrow {A'D'} $ , $\overrightarrow {AC'} $ và $\overrightarrow
{BD} $ .
b) Tính các tích vô hướng của các cặp vectơ: $\overrightarrow {AB}$ và
$ \overrightarrow {A'C'} $ , $\overrightarrow {AB} $ và $ \overrightarrow {A'D'} $.
4. Bài tập đề nghị
Bài 1. Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi M, N, I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các cạnh AE, CG, AD, DH, GH, FG; P và Q lần lượt là trung điểm của NG và JH.
a) Chứng minh ba vectơ $\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {FH} ,\overrightarrow {PQ} $ đồng phẳng.
b) Chứng minh ba vectơ $\overrightarrow {IL} ,\overrightarrow {JK} ,\overrightarrow {AH} $ đồng phẳng.
Hướng dẫn: a) $\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {FH} ,\overrightarrow {PQ} $ có giá cùng song song với (ABCD).
b) $\overrightarrow {IL} ,\overrightarrow {JK} ,\overrightarrow {AH} $ có giá cùng song song với (BDG).
Bài 2. Cho hình lăng trụ ABC.DEF. Gọi G, H, I, J, K lần lượt là trung điểm của AE, EC, CD, BC, BE.
a) Chứng minh ba vectơ $\overrightarrow {AJ} ,\overrightarrow {GI} ,\overrightarrow {HK} $ đồng phẳng.
b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên AF và CE sao cho $\frac{{FM}}{{FA}} = \frac{{CN}}{{CE}} = \frac{1}{3}$. Các đường thẳng vẽ từ M và N song song với CF lần lượt cắt DF và EF tại P và Q. Chứng minh ba vectơ $\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {PQ} ,\overrightarrow {CF} $ đồng phẳng.
Bài 3.
Cho hình tứ diện ABCD, trong đó AB $ \bot $ BD. Gọi P và Q là các điểm
lần lượt thuộc các đường thẳng AB và CD sao cho($k \ne 1$). Chứng minh
$\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {PQ} $.
Tags: #Toán 11
