Đường thẳng và mặt phẳng song song - Toán 11
Đường thẳng và mặt phẳng song song
1. Định nghĩa
Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) nếu chúng không có điểm chung.
d // (P) $\Leftrightarrow d \cap (P) = \emptyset$.
2. Tính chất
i) Nếu đường thẳng d không nằm trên mặt phẳng (P) và d song song với đường thẳng d' nằm trong (P) thì d song song với (P).
ii) Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa d mà cắt (P) thì cắt theo giao tuyến song song với d.
iii) Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó.
iv) Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với b.
Bài toán. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Phương pháp giải
Ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với một đường thẳng d' nào đó nằm trong (P).Ví dụ. Cho hai hình bình
hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a) Gọi O, O' lần lượt là tâm của ABCD và ABEF. Chứng minh OO' song song
với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).
b) M, N là 2 điểm lần lượt trên hai cạnh AE, BD sao cho AM = $\frac {1}{3}$ AE, BN = $\frac {1}{3}$ BD. Chứng minh MN // (CDFE).
Giải
+ Ta có OO' // DF (vì OO' là đường trung bình của tam giác BDF.
mà DF $ \subset $ (ADF) nên OO' // (ADF)
+ Ta có OO' // CE (vì OO' là đường trung bình của tam giác ACE).
mà CE $\subset $ (BCE) nên OO' // (BCE)
b) Gọi I là trung điểm của AB.
Vì AM = $\frac {1}{3}$ AE nên M là trọng tâm của tam giác ABF.
Suy ra $\frac {IM}{IA} = \frac {1}{3}$.
Tương tự, vì BN = $\frac {1}{3}$ BD nên N là trọng tâm của tam giác ABC.
Suy ra $\frac {IN}{IC} = \frac {1}{3}$.
Trong tam giác IAC có $\frac {IM}{IA} = \frac {IN}{IC} = \frac {1}{3}$.
Theo định lí Ta-let ta có MN // AC
mà AC $\subset $ (CDFE) nên MN // (CDFE). (đpcm).
Bài tập đề nghị
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD.
a) Chứng minh MN song song với các mặt phẳng (SBC), (SAD).
b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SB, SC đều song song với
(MNP).
c) Gọi ${G_1}, {G_2}$ là trọng tâm của các tam giác ABC, SBC. Chứng minh
${G_1}, {G_2}$ // (SBC).
Bài 2. Cho tứ diện ABCD. G
là trọng tâm của tam giác ABD. M là 1 điểm trên cạnh BC sao cho MB =
2MC. Chứng minh MG // (ACD).
Hướng dẫn: Chứng minh MG song song với giao tuyến của (BMG) và (ACD).
Bài 3. Cho tứ diện ABCD.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và G là trung điểm
của đoạn MN.
a) Tìm giao điểm A' của đường thẳng AG với mp(BCD).
b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA' và Mx cắt (BCD) tại M'.
Chứng minh B, M', A' thẳng hàng và BM' = M'A' = A'N.
c) Chứng minh GA = 3GA'.
Tham khảo thêm bài viết:
Tags:#Toán 11
