Hai mặt phẳng song song
Bài viết chia sẻ kiến thức cơ bản về hai mặt phẳng song song
1. Định nghĩa hai mặt phẳng song song
Hai mặt phẳng (P) và (Q) gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung. Tức là
(P) // (Q) $\Leftrightarrow (P) \cap (Q) = \emptyset$
(P) // (Q) $\Leftrightarrow (P) \cap (Q) = \emptyset$
2. Điều kiện và tính chất hai mặt phẳng song song
i) Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).
ii) Nếu đường thẳng d song song với mp(P) thì có duy nhất một mp(Q) chứa d và song song với (P).
iii) Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
iv) Cho một điểm A $\notin$ (P) khi đó mọi đường thẳng đi qua A và song song với (P) đều nằm trong một mp(Q) đi qua A và song song với (P).
v) Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cũng cắt mặt phẳng kia và các giao tuyến của chúng song song với nhau.
vi) Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau.
vii) Định lí Thales: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
viii) Định lí Thales đảo: Giả sử trên hai đường thẳng d và d' lần lượt lấy các điểm A, B, C và A', B', C' sao cho:
$\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{CA}}{{C'A'}}$
Khi đó, ba đường thẳng AA', BB', CC' lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là chúng cùng song với một mặt phẳng.
ii) Nếu đường thẳng d song song với mp(P) thì có duy nhất một mp(Q) chứa d và song song với (P).
iii) Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
iv) Cho một điểm A $\notin$ (P) khi đó mọi đường thẳng đi qua A và song song với (P) đều nằm trong một mp(Q) đi qua A và song song với (P).
v) Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cũng cắt mặt phẳng kia và các giao tuyến của chúng song song với nhau.
vi) Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau.
vii) Định lí Thales: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
viii) Định lí Thales đảo: Giả sử trên hai đường thẳng d và d' lần lượt lấy các điểm A, B, C và A', B', C' sao cho:
$\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{CA}}{{C'A'}}$
Khi đó, ba đường thẳng AA', BB', CC' lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là chúng cùng song với một mặt phẳng.
3. Bài toán Chứng minh hai mặt phẳng song song - Hướng dẫn giải chi tiết
Phương pháp giải
Cách 1. Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia. Tức là chỉ ra trong mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với hai đường thẳng trong mặt phẳng kia.
Cách 2. Chứng minh hai mặt phẳng đó cùng song song với mặt phẳng thứ ba
Cách 1. Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia. Tức là chỉ ra trong mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với hai đường thẳng trong mặt phẳng kia.
Cách 2. Chứng minh hai mặt phẳng đó cùng song song với mặt phẳng thứ ba
Ví dụ. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD.
a) Chứng minh (OMN) // (SBC).b) Gọi P, Q là trung điểm của AB, ON. Chứng minh PQ // (SBC).
Giải
Để chứng minh (OMN) // (SBC) ta chứng minh trong (OMN) có 2 đường thẳng OM và MN cắt nhau cùng song song với (SBC)
Thật vậy, ta có MN // AD (Vì MN là đường trung bình của tam giác SAD), mà AD // BC (Vì ABCD là hình bình hành) suy ra MN // BC.
Ta lại có BC $\subset $ (SBC) do đó MN // (SBC).
Tương tự ta có OM // SC (vì OM là đường trung bình của tam giác ASC) mà SC $\subset $ (SBC) nên OM // (SBC).
Trong mặt phẳng (OMN) có 2 đường thẳng OM và MN cắt nhau tại M cùng song song với (SBC) nên (OMN) // (SBC).
b) Để chứng minh PQ // (SBC) ta đi chứng minh PQ nằm trong mặt phẳng song song với (SBC) ở đây ta chọn (OMN)
Thật vậy ta có OP // AD vì (OP là đường trung bình của tam giác ABD, mà MN // AD nên OP // MN suy ra O,M,N,P đồng phẳng hay P $\in$ (OMN).
Mặt khác Q $\in$ ON nên Q $\in $ (OMN)
Do đó PQ $\subset $ (OMN)
mà (OMN) // (SBC) (cm ý a)
Suy ra PQ // (SBC)
4. Các bài tập đề nghị
Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là hai điểm di động lần lượt trên các cạnh AD, BC sao cho luôn có: .a) CMR: IJ luôn song song với 1 mặt phẳng cố định.
b) Tìm tập hợp điểm M chia đoạn IJ theo tỉ số k cho trước.
Hướng dẫn:
a) IJ song song với mp qua AB và song song CD.
b) Tập hợp điểm M là đoạn EF với E, F là các điểm chia AB, CD theo tỉ số k.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD.
a) CMR: (OMN) // (SBC).
b) Gọi I là trung điểm của SD, J là một điểm trên (ABCD) và cách đều AB, CD. Chứng minh IJ song song (SAB).
c) Giả sử hai tam giác SAD, ABC đều cân tại A. Gọi AE, AF là các đường phân giác trong của các tam giác ACD và SAB. Chứng minh EF // (SAD).
Bài 3. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho: AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại M', N'.
a) Chứng minh: (CBE) // (ADF).
b) Chứng minh: (DEF) // (MNN'M').
Tags: #Toán 11
