Hai đường thẳng vuông góc trong không gian
Trong không gian, khái niệm hai đường thẳng vuông góc không đơn giản như trong mặt phẳng. Khi xét các đường thẳng vuông góc trong không gian, chúng ta cần hiểu rõ cách xác định góc giữa hai đường thẳng và điều kiện để hai đường thẳng có thể vuông góc với nhau. Bài học này sẽ giới thiệu về các điều kiện cần thiết để xác định hai đường thẳng vuông góc trong không gian, đồng thời cung cấp các công cụ tính toán góc giữa chúng.
 |
| Ảnh minh họa |
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
$ \vec a $ là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của $\vec a$
song song hoặc trùng với d.
Tham khảo thêm bài viết:
Bài toán chứng minh hai đường thẳng song song
2. Góc giữa hai đường thẳng
• a'//a, b'//b $\Rightarrow$ $\left( {\widehat {a,b}} \right) = \left(
{\widehat {a',b'}} \right)$.
• Giả sử $\vec u $ là véc tơ chỉ phương của đường thẳng a, $\vec v$ là véc tơ chỉ phương của đường thẳng b và $(\vec u,\vec v) = \alpha $.
Khi đó:
$\left( {\widehat {a,b}} \right) =
\begin{cases}\alpha\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm
nếu}\,\,{0^{\rm o}} \le \alpha \le {90^{\rm o}}\\ {180^{\rm o}} -
\alpha\,\,\,{\rm nếu}\,\,{90^{\rm o}} \le \alpha \le {180^{\rm o}}
\end{cases}$
Đặc biệt. nếu a//b hoặc a trùng b
thì
$\left( {\widehat {a,b}} \right) = {0^o}$
Chú ý:
${0^{\rm o}} \le \left( {\widehat {a,b}} \right) \le {90^{\rm o}}$
3. Hai đường thẳng vuông góc
a) Định nghĩa.
Hai đường thẳng a và b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng
bằng $90^o$. Kí hiệu $a \bot b $
b) Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc
Giả sử $\vec u $ là véc tơ chỉ phương của đường thẳng a, $\vec v$ là véc
tơ chỉ phương của đường thẳng b. Khi đó $ a \bot b \Leftrightarrow \vec u
. \vec v = 0$
Chú ý: Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
4. Các dạng bài tập về hai đường thẳng vuông góc
Bài toán. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Phương pháp giải:Có thể sử dụng một
trong các cách sau:
Cách1. Chứng minh góc giữa hai đường thẳng đó bằng $90^{\rm {o}}$
Cách 2. Chứng minh hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó vuông góc
với nhau (tích vô hướng bằng 0)
Cách 3. Sử dụng các tính chất của hình học phẳng (như định lí Pi–ta–go,
…).
Ví dụ. Cho hình chóp tam giác
S.ABC có SA = SB = SC và $\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat
{CSA}$ . Chứng minh rằng $SA \bot BC, SB \bot AC, SC \bot AB $.
Giải
Vì SA = SB = SC và $\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA}$
nên các tam giác SAB, SBC, SAC là các tam giác cân tại S và $\Delta
SAB = \Delta SBC = \Delta SCA $ hay AB = BC = CA suy ra $\Delta ABC $
là tam giác đều.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA.
Ta chứng minh: $ SA \bot BC $ bằng cách chứng minh tích vô hướng
$\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = 0 $
Thật vậy ta có
$\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = \left( {\overrightarrow {SN} + \overrightarrow {NA} } \right).\overrightarrow {BC}$
$ = \overrightarrow {SN} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AN} .\overrightarrow {BC} $
Vì N là trung điểm BC, tam giác SBC cân tại S, tam giác ABC đều nên $SN \bot BC$ và $AN \bot BC$
do đó $ \overrightarrow {SN} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AN} .\overrightarrow {BC} = 0$
Tức là $\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = 0 $ hay $ SA \bot BC $.
Chứng minh tương tự ta có: $SB \bot AC, SC \bot AB $.
$\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = \left( {\overrightarrow {SN} + \overrightarrow {NA} } \right).\overrightarrow {BC}$
$ = \overrightarrow {SN} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AN} .\overrightarrow {BC} $
Vì N là trung điểm BC, tam giác SBC cân tại S, tam giác ABC đều nên $SN \bot BC$ và $AN \bot BC$
do đó $ \overrightarrow {SN} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AN} .\overrightarrow {BC} = 0$
Tức là $\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = 0 $ hay $ SA \bot BC $.
Chứng minh tương tự ta có: $SB \bot AC, SC \bot AB $.
Bài tập đề nghị
Bài 1. Cho tứ diện đều ABCD,
cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.
a) Chứng minh AO vuông góc với CD.
b) Gọi M là trung điểm của CD. Tính góc giữa AC và BM.
Đáp số: b) $\cos (\widehat {AC,BM})
= \frac{{\sqrt 3 }}{6}$.
Bài 2. Cho hình chóp SABCD,
có đáy là hình bình hành với AB = a, AD = 2a, SAB là tam giác vuông cân
tại A, M là điểm trên cạnh AD (M $\ne $ A và D). Mặt phẳng (P) qua M song
song với mp(SAB) cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q.
a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông.
b) Đặt AM = x. Tính diện tích của MNPQ theo a và x.
Bài 3. Cho hình hộp
ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Chứng minh rằng: $ AC \bot
B'D', AB' \bot CD', AD' \bot CB'$.
Qua bài viết, hy vọng bạn đã hiểu rõ hơn về các dạng bài tập Hai đường thẳng vuông góc và cách giải chi tiết từng dạng bài tập. Đừng ngần ngại để lại câu hỏi hoặc chia sẻ bài viết nếu bạn thấy hữu ích!
Nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào về bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc hoặc các chủ đề toán học khác, hãy để lại bình luận dưới đây hoặc liên hệ với chúng tôi để được giải đáp!
Tags: #Toán 11
