Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Bài toán chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là một nội dung quan trọng trong hình học không gian. Để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, ta cần xác định rõ các điều kiện đủ và cần thiết, đồng thời vận dụng một số định lý cơ bản trong hình học không gian. Dưới đây là các bước cơ bản và lý thuyết nền cần thiết để thực hiện chứng minh này
5. Các dạng bài tập về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
1. Định nghĩa đường thẳng và mặt phẳng vuông góc
Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d
vuông góc với mọi đường thẳng trong (P).
Tức là: $d \bot (P) \Leftrightarrow d \bot a, \forall a \subset (P)$
2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Điều kiện cần và đủ để đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) là d
vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng (P)
Tức là $\begin{cases} a,b \subset (P),\,a \cap b = M \\ d \bot a,\,d \bot
b \end{cases} \Rightarrow d \bot (P)$
Chú ý.
+ Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với
đoạn thẳng tại trung điểm của nó.
+ Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu
mút của đoạn thẳng đó.
+ Cần có sự phân biệt và vận dụng linh hoạt giữa định nghĩa và điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
+ Cần có sự phân biệt và vận dụng linh hoạt giữa định nghĩa và điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
3. Định lí ba đường vuông góc
Cho a không vuông góc với (P), $b \subset (P)$, a' là hình chiếu của a trên (P).
Khi đó $b \bot a \Leftrightarrow b \bot a' $
(hình vẽ)
4. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
+ Nếu d // (P) hoặc $d \subset (P) $ thì góc giữa d và (P) bẳng $0^{o}$.
+ I = d $\cap $ (P). Dựng d' là hình chiếu vuông góc của d trên (P).
$\left( {\widehat {d,(P)}} \right)$ = $\left( {\widehat {d,d'}} \right)$.
Đặc biệt: $\left( {\widehat {d,(P)}} \right) = 90^o$ ta nói $d \bot (P)$
Chú ý: $ 0^o \le \left( {\widehat {d,(P)}} \right) \le 90^o$
5. Các dạng bài tập về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Bài toán 1. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Phương pháp giải
1.1. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Để chứng minh d $\bot$ (P), ta có thể chứng minh bởi một trong
các cách sau:
+ Cách 1. Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm trong
(P).
+ Cách 2. Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P).
+ Cách 3. Chứng minh d // a và a $\bot$ (P).
1.2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Để chứng minh d $\bot$ a, ta có thể chứng minh bởi một trong các
cách sau:
+ Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a.
+ Sử dụng định lí ba đường vuông góc.
+ Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước.
Ví dụ. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông tâm O. SA $\bot $ (ABCD).
Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD.
a) CMR: BC $\bot $ (SAB), CD $\bot$ (SAD), BD $\bot$ (SAC).
b) CMR: AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra 3 đường thẳng AH, AI,
AK cùng nằm trong một mặt phẳng.
c) CMR: HK $\bot$ (SAC). Từ đó suy ra HK $\bot$ AI.
Chứng minh.
a) Từ giả thiết SA $\bot$ (ABCD) theo định nghĩa ta có SA vuông góc với tất cả các đường thẳng trong mặt phẳng (ABCD).
+ Chứng minh: BC $\bot $ (SAB) (ta sử dụng điều kiện đường thẳng vuông góc với mặt phẳng)
Trong mp(SAB) có hai đường thẳng cắt nhau là SA và AB cùng vuông góc với đường thẳng BC nên BC $\bot $ (SAB).
+ Chứng minh: CD $\bot$ (SAD) Tương tự, trong mp(SAD) có hai đường thẳng cắt nhau là SA và AD cùng vuông góc với đường thẳng CD nên CD $\bot$ (SAD).
 |
| Hình 1 |
a) Từ giả thiết SA $\bot$ (ABCD) theo định nghĩa ta có SA vuông góc với tất cả các đường thẳng trong mặt phẳng (ABCD).
+ Chứng minh: BC $\bot $ (SAB) (ta sử dụng điều kiện đường thẳng vuông góc với mặt phẳng)
Trong mp(SAB) có hai đường thẳng cắt nhau là SA và AB cùng vuông góc với đường thẳng BC nên BC $\bot $ (SAB).
+ Chứng minh: CD $\bot$ (SAD) Tương tự, trong mp(SAD) có hai đường thẳng cắt nhau là SA và AD cùng vuông góc với đường thẳng CD nên CD $\bot$ (SAD).
+ Chứng minh: BD $\bot$ (SAC) Trong mp(SAC) có hai đường thẳng cắt nhau là SA và AC cùng vuông góc với đường thẳng BD nên BD $\bot$ (SAC).
b) AH, AK cùng vuông góc với SC ( ta sử dụng định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để giải quyết bài toán)
Hoặc cách khác tham khảo thêm bài viết: Bài toán. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
Chứng minh AH $\bot$ SC
Chọn (SBC) $\subset$ SC. ta chứng minh AH $\bot$ (SBC)
Trong mp(SBC) có hai đường thẳng cắt nhau là SB và BC cùng vuông góc với AH nên AH $\bot$ (SBC)
mà (SBC) $\subset$ SC do đó AH $\bot$ SC.
Tương tự, trong mp (SCD) có hai đường thẳng cắt nhau là SD và DC cùng vuông góc với AK nên AK $\bot$ (SCD)
mà (SCD) $\subset$ SC do đó AK $\bot$ SC.
Ba đường thẳng AH, AI, AK cắt nhau tai A và cùng vuông góc với SC nên AH, AI, AK đồng phẳng.
c) Chứng minh: HK $\bot$ (SAC)
b) AH, AK cùng vuông góc với SC ( ta sử dụng định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để giải quyết bài toán)
Hoặc cách khác tham khảo thêm bài viết: Bài toán. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
Chứng minh AH $\bot$ SC
Chọn (SBC) $\subset$ SC. ta chứng minh AH $\bot$ (SBC)
Trong mp(SBC) có hai đường thẳng cắt nhau là SB và BC cùng vuông góc với AH nên AH $\bot$ (SBC)
mà (SBC) $\subset$ SC do đó AH $\bot$ SC.
Tương tự, trong mp (SCD) có hai đường thẳng cắt nhau là SD và DC cùng vuông góc với AK nên AK $\bot$ (SCD)
mà (SCD) $\subset$ SC do đó AK $\bot$ SC.
Ba đường thẳng AH, AI, AK cắt nhau tai A và cùng vuông góc với SC nên AH, AI, AK đồng phẳng.
c) Chứng minh: HK $\bot$ (SAC)
(ta sử dụng cách 3 để giải bài toán tức là chứng minh HK // BD vì BD $\bot$ (SAC) ý a))
Do ABCD là hình vuông nên $\Delta$ SAB = $\Delta$ SAD suy ra SH = SK, SB = SB.
Trong tam giác SBD có $\frac{{SH}}{{SB}} = \frac{{SK}}{{SD}}$
Theo định lí Ta-let ta có HK // BD
mà BD $\bot$ (SAC) nên HK $\bot$ (SAC)
mà AI $\subset$ (SAC) nên HK $\bot$ AI
Trong tam giác SBD có $\frac{{SH}}{{SB}} = \frac{{SK}}{{SD}}$
Theo định lí Ta-let ta có HK // BD
mà BD $\bot$ (SAC) nên HK $\bot$ (SAC)
mà AI $\subset$ (SAC) nên HK $\bot$ AI
Bài tập đề nghị
Bài 1. Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B; SA $\bot$ (ABC).
a) Chứng minh: BC $\bot$ (SAB)
b) Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh: AH $\bot $ SC.
b) Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh: AH $\bot $ SC.
Bài 2. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết: SA = SC,
SB = SD.
a) Chứng minh: SO $\bot $ (ABCD).
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC. CMR: IJ $\bot$
(SBD).
Bài 3. Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều. Gọi I là trung
điểm của BC.
a) Chứng minh: BC $\bot $ (AID).
b) Vẽ đường cao AH của tam giác AID. Chứng minh: AH $\bot$ (BCD).
Bài 4. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là
hình chiếu vuông góc của điểm O trên mp(ABC). Chứng minh rằng:
a) BC $\bot $ (OAH).
b) H là trực tâm của tam giác ABC.
c) $\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} +
\frac{1}{{O{C^2}}}$.
d) Các góc của tam giác ABC đều nhọn.
Bài 5. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là
tam giác đều; SAD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung
điểm của AB và CD.
a) Tính theo a độ dài các cạnh của tam giác SIJ và chứng minh rằng SI
$\bot$ (SCD), SJ $\bot $ (SAB).
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. CMR: SH $\bot $ AC.
c) Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho: BM $\bot $ SA. Tính độ
dài AM theo a.
Hướng dẫn:
a) $a,\, \frac{a}{2}, \frac{{a \sqrt 3 }}{2} $
c) $\frac{{a\sqrt 5 }}{2}$
Bài 6. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam
giác đều và SC = a . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và
AD.
a) CMR: SH $\bot$ (ABCD).
b) Chứng minh: AC $\bot$ SK và CK $\bot$ SD.
Bài 7. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình chữ nhật có AB = a, BC = a ,
mặt bên SBC vuông tại B, mặt bên SCD vuông tại D có SD = a .
a) Chứng minh: SA $\bot$ (ABCD) và tính độ dài SA theo a.
b) Đường thẳng qua A và vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB, CD lần
lượt tại I, J. Gọi H là hình chiếu của A trên SC. Hãy xác định các giao
điểm K, L của SB, SD với mp(HIJ). CMR: AK $\bot$ (SBC), AL $\bot$ (SCD).
c) Tính diện tích tứ giác AKHL.
Hướng dẫn:
a) $a \sqrt2$.
a) $a \sqrt2$.
c) $\frac{{8{a^2}}}{{15}}$.
Bài toán 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Phương pháp giải:
Bước 1. Tìm giao điểm O của a với (P).
Bước 2. Chon điểm A $\in$ a và dựng AH $\bot $ (P) tại H. Khi đó
$\widehat {AOH} = \left( {\widehat {a,(P)}} \right)$
Ví dụ. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O; SO
$\bot $ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và BC.
Biết $(\widehat {MN,(ABCD)}) = {60^{o}}$.
a) Tính MN và SO.
b) Tính góc giữa MN và (SBD).
Hướng dẫn:
a) MN = $\frac{{a\sqrt {10} }}{2}$; SO = $\frac{{a\sqrt {30}
}}{2}$ b) sin $(\widehat
{MN,(SBD)}) = \frac{{\sqrt 5 }}{5}$.
Bài tập đề nghị
Bài 1. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA $\bot$ (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa:
a) SC và (ABCD) b) SC và
(SAB) c) SB và (SAC) d)
AC và (SBC)
Hướng dẫn:
a) $60^o$
a) $60^o$
b) arctan $\frac{1}{{\sqrt 7 }}$ c) arcsin $\frac{1}{{\sqrt 14}}$ d) arcsin $\frac{{\sqrt {21} }}{7}$.
Bài 2. Cho lăng trụ ABC.A'B'C', có đáy là tam giác đều cạnh a, AA' $\bot $
(ABC). Đường chéo BC' của mặt bên BCC'B' hợp với (ABB'A') góc $30^o$.
a) Tính độ dài AA' theo a.
b) Tính khoảng cách từ trung điểm M của AC đến (BA'C').
c) Gọi N là trung điểm của cạnh BB'. Tính góc giữa MN và (BA'C').
Hướng dẫn
a) $a\sqrt 2$.
b) $\frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}$.
c) arcsin $\sqrt {\frac{{54}}{{55}}} $.
Qua bài viết, hy vọng bạn đã hiểu rõ hơn về các dạng bài tập đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và cách giải chi tiết từng dạng bài tập. Đừng ngần ngại để lại câu hỏi hoặc chia sẻ bài viết nếu bạn thấy hữu ích!
Nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào về bài toán chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hoặc các chủ đề toán học khác, hãy để lại bình luận dưới đây hoặc liên hệ với chúng tôi để được giải đáp!
Tags: #Toán 11
