Bài toán khoảng cách trong không gian

1.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng hoặc một mặt phẳng trong đó H là hình chiếu của M trên a hoặc (P). 

1.2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song hoặc giữa hai mặt phẳng song song
d(a,(P)) = d(M,(P)) trong đó M là điểm bất kì nằm trên a.

d((P),(Q) = d(M,(Q)) trong đó M là điểm bất kì nằm trên (P).

• Đường thẳng $\Delta $ cắt cả a, b và cùng vuông góc với a, b được gọi là đường vuông góc chung của a, b.

• Nếu $\Delta $ cắt a, b tại I, J thì IJ được gọi là đoạn vuông góc chung của a, b.

• Độ dài đoạn IJ được gọi là khoảng cách giữa a, b.

• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó với mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với nó.

• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

Phương pháp giải: Dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b.

Cách 1: Giả sử a $\bot $ b:

• Dựng mặt phẳng (P) chứa b và vuông góc với a tại A.

• Dựng AB $\bot $ b tại B

$\Rightarrow $ AB là đoạn vuông góc chung của a và b.

Cách 2: Sử dụng mặt phẳng song song.

• Dựng mặt phẳng (P) chứa b và song song với a.

• Chọn M $\in $ a, dựng MH $\bot $ (P) tại H.

• Từ H dựng đường thẳng a' // a, cắt b tại B.

• Từ B dựng đường thẳng song song MH, cắt a tại A.

$\Rightarrow $ AB là đoạn vuông góc chung của a và b.

Chú ý: d(a,b) = AB = MH = a(a,(P)).

Cách 3: Sử dụng mặt phẳng vuông góc.

• Dựng mặt phẳng (P) $\bot $ a tại O.

• Dựng hình chiếu b' của b trên (P).

• Dựng OH $\bot $ b' tại H.

• Từ H, dựng đường thẳng song song với a, cắt b tại B.

• Từ B, dựng đường thẳng song song với OH, cắt a tại A.

$\Rightarrow $ AB là đoạn vuông góc chung của a và b.

Chú ý: d(a,b) = AB = OH.

Bài 1. Cho hình tứ diện OABC, trong đó OA, OB, OC = a. Gọi I là trung điểm của BC. Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng:

a) OA và BC. b) AI và OC.

a) $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

b)  $\frac{{a\sqrt 5 }}{5}$.

Bài 2. Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, SA $\bot $ (ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

a) SC và BD. b) AC và SD.

a) $\frac{{a\sqrt 6 }}{6}$.

b) $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.

Bài 3. Cho tứ diện SABC có SA $\bot $ (ABC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC.

a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, Bc đồng qui.

b) Chứng minh SC $\bot $ (BHK), HK $\bot $ (SBC).

c) Xác định đường vuông góc chung của BC và SA.

c) Gọi E = AH $\bot $ BC. Đường vuông góc chung của BC và SA là AE.

Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Để tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) ta cần xác định đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng (mặt phẳng).

Bài 1. Cho hình chóp SABCD, có SA $\bot $ (ABCD) và SA = a , đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kinh AD = 2a.

a) Tính các khoảng cách từ A và B đến mặt phẳng (SCD).

b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC).

c) Tính diện tích của thiết diện của hình chóp SABCD với mặt phẳng (P) song song với mp(SAD) và cách (SAD) một khoảng bằng  .

a) d(A,(SCD)) = a$\sqrt 2 $ ; d(B,(SCD)) = $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

c) $\frac{{{a^2}\sqrt 6 }}{2}$.

Bài 2. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có AA' $\bot $ (ABC) và AA' = a, đáy ABC là tam giác vuông tại A có BC = 2a, AB = a .

a) Tính khoảng cách từ AA' đến mặt phẳng (BCC'B').

b) Tính khoảng cách từ A đến (A'BC).

c) Chứng minh rằng AB $\bot $ (ACC'A') và tính khoảng cách từ A' đến mặt phẳng (ABC').

Hướng dẫn 

a) $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

b) $\frac{{a\sqrt {21} }}{7}$ 

c) $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Qua bài viết, hy vọng bạn đã hiểu rõ hơn về các dạng bài tập khoảng cách trong không gian và cách giải chi tiết từng dạng bài tập. Đừng ngần ngại để lại câu hỏi hoặc chia sẻ bài viết nếu bạn thấy hữu ích!

Nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào về bài toán chứng minh khoảng cách trong không gian với mặt phẳng hoặc các chủ đề toán học khác, hãy để lại bình luận dưới đây hoặc liên hệ với chúng tôi để được giải đáp!