Phương trình mặt phẳng - Ôn thi tốt nghiệp

+ Mặt phẳng (P): $ax + by + cz + d = 0$ có một véctơ pháp tuyến là $\vec n = (a;\,b;\,c)$

Bài toán 2. Xác định phương trình mặt phẳng

Các mặt phẳng cơ bản

Dạng 1. Mặt phẳng (P) đi qua điểm $M ({x_0};\,{y_0};\,{z_0})$ và nhận $\vec n = (a;\,b;\,c)$ thì phương trình (P): $a(x-{x_0})+b(y-{y_0})+c(z-{z_0})$

Dạng 2. Viết phương trình (P) qua $M ({x_0};\,{y_0};\,{z_0})$ và song song với mặt phẳng (Q): $ax + by + cz + d = 0$
Phương pháp giải
+ Xác định véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là véc tơ $\vec n (a;\,b;\,c)$.
+ Vì (P) // (Q) nên (P) nhận véc tơ $\vec n (a;\,b;\,c)$ làm véc tơ pháp tuyến.
+ Mặt phẳng (P) qua $M ({x_0};\,{y_0};\,{z_0})$ có véc tơ pháp tuyến $\vec n (a;\,b;\,c)$ (Dạng 1)

Dạng 3. Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB.
Phương pháp giải
+ Xác định tọa độ véc tơ $\vec {AB}$ và tọa độ trung điểm I của đoạn AB.
+ Mặt phẳng (P) cần tìm đi qua I và nhận
+ Mặt phẳng (P) cần tìm đi qua I và nhận $\vec {AB}$ làm véc tơ pháp tuyến (Dạng 1)

Dạng 4. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với đường thẳng d
Phương pháp giải
+ Xác định véc tơ chỉ phương $\vec u$ của đường thẳng d.
+ Do (P) vuông góc với đường thẳng d nên (P) nhận véc tơ
+ Do (P) vuông góc với đường thẳng d nên (P) nhận véc tơ $\vec u$ làm véc tơ pháp tuyến.
+ Mặt phẳng (P) đi qua M và có véc tơ pháp tuyến
+ Mặt phẳng (P) đi qua M và có véc tơ pháp tuyến $\vec u$ (Dạng 1)

Dạng 5. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M và có cặp véctơ chỉ phương $\vec a, \vec b$
Phương pháp giải
+ Xác định véc tơ pháp tuyến của (P) là $\vec n$ = $[\vec a,\,\vec b]$.
+ Mặt phẳng (P) đi qua M và có véc tơ pháp tuyến $\vec n$ (Dạng 1)

Dạng 6. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
Phương pháp giải
+ Xác định tọa độ véc tơ $\vec {AB}$, $\vec {AC}$
+ Xác định véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec n$ = $[\vec {AB}, \vec {AC}]$.
+ Mặt phẳng (P) đi qua điểm A (hoặc B, hoặc C lấy điểm tùy ý) và nhận $\vec n$ làm véc tơ pháp tuyến (Dạng 1)

Dạng 7. Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (Q)
Phương pháp giải
+ Xác định véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là $\vec u$, tọa độ $\vec {AB}$.
+ Xác định véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) cần tìm là $\vec n$ = $[\vec u, \vec {AB}]$.
+ Mặt phẳng (P) đi qua điểm A (hoặc B lấy điểm tùy ý) và nhận $\vec n$ làm véc tơ pháp tuyến (Dạng 1)

Dạng 8. Viết phương trình mp(P) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$
Phương pháp giải
+ Xác định các véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha), (\beta)$ là $\vec a, \vec b$.
+ Vì (P) vuông góc với hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ nên có véc tơ pháp tuyến $\vec n$ = $[\vec a, \vec b]$
+ Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có véc tơ pháp tuyến $\vec n$ (Dạng 1)

Dạng 9. Mặt phẳng (P) đi qua M và giao tuyến d của hai mặt phẳng:
$(\alpha) : ax + by + cz +d = 0$ và $(\beta): a'x+b'y+c'z+d'=0$
Phương pháp giải
+ Ta có mọi mặt phẳng chứa d đều có dạng:
$m(ax+by+cz+d)+n(a'x+b'y+c'z+d')=0$ (Phương trình chùm mặt phẳng)
+ Vì $M \in (P)$ nên ta thay tọa độ điểm M vào phương trình sẽ có được biểu thức liên hệ giữa m và n. Chọn 1 giá trị bất kì của m để tìm n. Từ đó ta có phương trình mặt phẳng (P) cần tìm.

Dạng 10. Viết phương trình mặt phẳng đoạn chắn
Phương pháp giải
+ Nếu mặt phẳng (P) cắt ba trục tọa độ lần lượt tại các điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0) và C(0; 0; c) với ($a.b.c \ne 0$) thì $(P): \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c} = 1$ gọi là mặt phẳng đoạn chắn.

Dạng 11. Viết phương trình mp (P) đi qua M vuông góc mp (Q) và song song với đường thẳng d
Phương pháp giải
+ Xác định véc tơ pháp tuyến của mp(Q) là $\vec a$, véc tơ chỉ phương của đường thẳng d là $\vec b$
+ Xác định véc tơ pháp tuyến của (P) là $\vec n$ = $[\vec a, \vec b]$
+ Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có véc tơ pháp tuyến $\vec n$ (Dạng 1) 

Dạng 12. Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M và chứa đường thẳng d
Phương pháp giải
+ Trên đường thẳng d lấy điểm A; tính tọa độ $\vec {AM}$ và xác định véc tơ chỉ phương của đường thẳng d là $\vec u$
+ Khi đó véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec n$ = $[\vec {AM}, \vec u]$
+ Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có véc tơ pháp tuyến $\vec n$ (Dạng 1)

Dạng 13. Viết phương trình của mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau d và d'
Phương pháp giải
+ Xác định các véc tơ chỉ phương của d và d' là các véc tơ $\vec u$ và $\vec {u'}$
+ Xác định véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec n$ = $[\vec u, \vec {u'}]$
+ Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có véc tơ pháp tuyến $\vec n$ (Dạng 1)

Dạng 14. Cho 2 đường thẳng chéo nhau d và d'. Hãy viết phương trình (P) chứa d và song song với d'
Phương pháp giải
+ Xác định các véc tơ chỉ phương của d và d' là các véc tơ $\vec u$ và $\vec {u'}$
+ Xác định véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec n$ = $[\vec u, \vec {u'}]$
+ Xác định một điểm M trên đường thẳng d.

Bài toán 3. Điểm thuộc mặt phẳng

Bài toán 4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng