Phương trình mặt cầu - Ôn thi tốt nghiệp
Phương trình mặt cầu
Mặt cầu tâm I (a; b; c) và có bán kính R có phương trình
+ Dạng 1.
$$\boxed{(S): {(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}}$$
Phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ với ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0$
là phương trình của mặt cầu có tâm I (a; b; c) và bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} $.
Để một phương trình là một phương trình mặt cầu, cần thỏa mãn hai điều kiện:
Hệ số trước ${x^2},{\rm{ }}{y^2},{\rm{ }}{z^2}$ phải bằng nhau và ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0$
Bài toán. Viết phương trình mặt cầu
Dạng 1. Mặt cầu tâm I (a; b; c) và có bán kính R
$${{{(x - a)}^2} + {{(y - b)}^2} + {{(z - c)}^2} = {R^2}}$$
Dạng 2. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c) và đi qua điểm $A\left( {{x_A};\,{y_A};\,{z_A}} \right)$
Phương pháp giải
+ Tâm của mặt cầu I (a; b; c).
+ Bán kính mặt cầu:
$R = IA = \sqrt {{{\left( {{x_A} - a} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - b} \right)}^2} + {{\left( {{z_A} - c} \right)}^2}} $
$R = IA = \sqrt {{{\left( {{x_A} - a} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - b} \right)}^2} + {{\left( {{z_A} - c} \right)}^2}} $
Dạng 3. Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB với $A\left( {{x_A};{\mkern 1mu} {y_A};{\mkern 1mu} {z_A}} \right)$, $B\left( {{x_B};{\mkern 1mu} {y_B};{\mkern 1mu} {z_B}} \right)$ cho trước.
Phương pháp giải:
+ Tâm mặt cầu là trung điểm của đoạn AB: $I\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};{\mkern 1mu} \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};{\mkern 1mu} \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)$.
+ Bán kính mặt cầu:
$R = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}}$
