Viết phương trình đường tròn - Toán 10
Phương trình đường tròn
Phương trình 1. Đường tròn tâm O(a;b) và bán kính là R có phương trình:$$\boxed{(x-a)^2+(y-b)^2=R^2} (1)$$
thường sử dụng khi biết tọa độ tâm và bán kính đường tròn.
Phương trình 2
$$\boxed{x^2+y^2-2ax-2by+c=0} (2)$$
với điều kiện là $a^2+b^2-c>0$
trong đó tâm $I(a;b)$ và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}$
Giải.
Dựa vào dạng 1, ta có tâm $I(2;-1)$ và bán kính $R=2$.
Ví dụ. Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn, xác định tâm và bán kính.
a) $2x^2+y^2-8x+2y-1=0$.
b) $x^2+y^2+2x-4y-4=0$.
c) $x^2+y^2-2x-6y+20=0$.
d) $x^2+y^2+6x+2y+10=0$.
Giải.
a) Không có dạng 2 nên không phải là phương trình đường tròn.
b) Ta có: $a=-1,b=2,c=-4$, suy ra $a^2+b^2-c=9>0$
Do đó $x^2+y^2+2x-4y-4=0$ là phương trình đường tròn tâm $I(-1;2)$ và bán kính $R=\sqrt{9}=3$.
c) Ta có: $a=1,b=3,c=20$, suy ra $a^2+b^2-c=-10<0$, không thỏa mãn điều kiện nên không phải là phương trình của đường tròn.
d) Ta có: $a=-3,b=-1,c=10$, suy ra $a^2+b^2-c=0$, không thỏa mãn điều kiện nên không phải là phương trình của đường tròn.
Bài toán viết phương trình đường tròn.
Bước 1. Xác định tọa độ tâm, bán kính của đường tròn
Một số dạng toán cụ thể
Dạng 1. Viết phương trình đường tròn khi biết tâm và bán kính
Ví dụ 1. Viết phương trình đường tròn $(C)$ biết tâm $I(-1;2)$ và bán kính
$R=2$.
Giải.
Phương trình đường tròn $(C)$ là $$(C):(x+1)^2+(y-2)^2=4$$
Dạng 2. Viết phương trình đường tròn có đường kính $AB$
Ví dụ 2. Viết phương trình đường tròn $(C)$ có đường kính $AB$, biết
$A(3;2)$ và $B(1;4)$.
Giải.
Tâm của đường tròn $(C)$ là trung điểm $I$ của $AB$. Suy ra $I(2;3)$.
Ta có $AB=\sqrt{(1-3)^2+(4-2)^2}=2\sqrt{2}$
Bán kính $R=\frac{AB}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$
Phương trình đường tròn $(C)$: $$(C):(x-2)^2+(y-3)^2=2$$
Dạng 3. Viết phương trình đường tròn tâm $I$ và tiếp xúc với một đường thẳng
Ví dụ 3. Viết phương trình đường tròn $(C)$ có tâm $I(1;2)$ và tiếp xúc với
$\Delta:2x-y+5=0$.
Giải.
$(C)$ có tâm $I(1;2)$
Vì $(C)$ tiếp xúc với $\Delta$ nên bán kính
$R=d(I;\Delta)=\frac{|2.1-2+5|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\sqrt{5}$
Phương trình đường tròn $(C)$: $$(C):(x-1)^2+(y-2)^2=5$$
Dạng 4. Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm
Ví dụ 4. Viết phương trình đường tròn $(C)$ đi qua $A(1;2),B(5;2)$ và
$C(1;-3)$.
Giải.
Gọi $(C):x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ là phương trình đường tròn thỏa mãn yêu cầu
bài toán (YCBT), điều kiện: $a^2+b^2-c>0$.
(Xem lại hai dạng của phương trình đường tròn)
Vì $(C)$ đi qua ba điểm $A,B,C$ nên ta có hệ
$\left\{ \begin{aligned}&1+4-2a-4b+c=0 \\&25+4-10a-4b+c=0
\\&1+9-2a+6b+c=0 \\\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow\left\{ \begin{aligned}&-2a-4b+c=-5
\\&-10a-4b+c=-29 \\&-2a+6b+c=-10 \\\end{aligned}
\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}& a=3 \\&
b=-\frac{1}{2} \\& c=-1 \\\end{aligned} \right.$
Kiểm tra điều kiện $a^2+b^2-c>0$
Phương trình đường tròn: $$(C):x^2+y^2-6x+y-1=0$$
