Phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz - Ôn thi tốt nghiệp
Bài toán 1. Xác định véc tơ chỉ phương
Định nghĩa. Véc tơ $\vec u \ne \vec 0$ được gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của $\vec u$ song song hoặc trùng với đường thẳng d.Nhận xét:
+ $\vec u$ là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng d thì véc tơ $k. \vec u$ cũng là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d.
+ Nếu có hai véc tơ $\vec a$ và $\vec b$ có giá vuông góc với đường thẳng d thì d có một véc tơ chỉ phương là $\vec u = [\vec a, \vec b]$
+ Phương trình đường thẳng d đi qua điểm $M({x_0};\,{y_0};\,{z_0})$ và có véc tơ chỉ phương $\vec u = ({a_1};{a_2};{a_3})$ là
+ Dạng tham số:
$\begin{cases}x= {x_0}+{a_1}t\\ y={y_0}+{a_2}t\\ z={z_0}+{a_3}t \end{cases}$
Với $t$ là tham số
+ Dạng chính tắc: ${a_1}.{a_2}.{a_3} \ne 0$
${\frac{{x - {x_0 }}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_0 }}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_ 0}}}{{{a_3}}}}$.
Bài toán 2. Viết phương trình đường thẳng
Dạng 1. Đường thẳng d đi qua điểm M và véc tơ chỉ phươngPhương pháp giải
Gọi điểm $M({x_0};\,{y_0};\,{z_0})$ và có véc tơ chỉ phương $\vec u = ({a_1};{a_2};{a_3})$ phương trình đường thẳng
+ Dạng tham số:
$\begin{cases}x= {x_0}+{a_1}t\\ y={y_0}+{a_2}t\\ z={z_0}+{a_3}t \end{cases}$
Với $t$ là tham số
+ Dạng chính tắc: ${a_1}.{a_2}.{a_3} \ne 0$
${\frac{{x - {x_0 }}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_0 }}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_ 0}}}{{{a_3}}}}$.
Dạng 2. Đường thẳng d đi qua hai điểm A, B
Phương pháp giải
+ Xác định tọa độ véc tơ $\vec {AB}$
+ Véc tơ chỉ phương của đường thẳng d là $\vec u = \vec {AB}$
+ Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A (hoặc B) và có véc tơ $\vec u$ là véc tơ chỉ phương (Dạng 1).
Dạng 3. Đường thẳng d đi qua điểm M và song song với đường thẳng
d'
Phương pháp giải
+ Xác định véc tơ chỉ phương của đường thẳng d' là $\vec u$.
+ Do d//d' nên d nhận véc tơ $\vec u$ làm véc tơ chỉ phương
+ Đường thẳng d đi qua điểm M và có véc tơ $\vec u$ là véc tơ chỉ phương (Dạng 1)
Dạng 4. Đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (P)
Phương pháp giải
+ Xác định véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec n$
+ Do d vuông góc với mặt phẳng (P) nên d nhận véc tơ $\vec u = \vec n$ làm véc tơ chỉ phương.
+ Đường thẳng d đi qua điểm M và có véc tơ $\vec u$ là véc tơ chỉ phương (Dạng 1)
Dạng 5. Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) cho trước
Phương pháp giải
+ Xác định véc tơ chỉ phương của đường thẳng d' là $\vec u$.
+ Do d//d' nên d nhận véc tơ $\vec u$ làm véc tơ chỉ phương
+ Đường thẳng d đi qua điểm M và có véc tơ $\vec u$ là véc tơ chỉ phương (Dạng 1)
Dạng 4. Đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (P)
Phương pháp giải
+ Xác định véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec n$
+ Do d vuông góc với mặt phẳng (P) nên d nhận véc tơ $\vec u = \vec n$ làm véc tơ chỉ phương.
+ Đường thẳng d đi qua điểm M và có véc tơ $\vec u$ là véc tơ chỉ phương (Dạng 1)
Dạng 5. Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) cho trước
Phương pháp giải
+ Chọn điểm M = (P) $\cap$ (Q) ( chọn x = 0 (hoặc y = 0, hoặc z = 0) rồi giải hệ 2 phương trình 2 ẩn để tìm giá trị 2 ẩn còn lại để tìm tọa độ M)
+ Xác định véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) là $\vec a, \vec b$.
+ Đường thẳng d nhận $\vec u = [\vec a, \vec b]$ làm véc tơ chỉ phương.
+ Đường thẳng d đi qua điểm M và có véc tơ $\vec u$ là véc tơ chỉ phương (Dạng 1).
+ Chọn điểm M = (P) $\cap$ (Q) ( chọn x = 0 (hoặc y = 0, hoặc z = 0) rồi giải hệ 2 phương trình 2 ẩn để tìm giá trị 2 ẩn còn lại để tìm tọa độ M)
+ Xác định véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) là $\vec a, \vec b$.
+ Đường thẳng d nhận $\vec u = [\vec a, \vec b]$ làm véc tơ chỉ phương.
+ Đường thẳng d đi qua điểm M và có véc tơ $\vec u$ là véc tơ chỉ phương (Dạng 1).
Dạng 6. Đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với hai đường thẳng a và b
cho trước
Phương pháp giải
+ Xác định véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b là $\vec a, \vec b$.
+ Đường thẳng d nhận $\vec u = [\vec a, \vec b]$ làm véc tơ chỉ phương.
+ Đường thẳng d đi qua điểm M và có véc tơ $\vec u$ là véc tơ chỉ phương (Dạng 1).
Dạng 7. Đường thẳng d đi qua điểm M và song song với hai mặt phẳng (P) và (Q) (hoặc nằm trong (P) và song song với (Q))
Phương pháp giải
+ Xác định véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) là $\vec a, \vec b$.
+ Đường thẳng d nhận $\vec u = [\vec a, \vec b]$ làm véc tơ chỉ phương.
+ Đường thẳng d đi qua điểm M và có véc tơ $\vec u$ là véc tơ chỉ phương (Dạng 1).
Dạng 8. Đường thẳng d đi qua điểm M vuông góc với đường thẳng d' và song song với mặt phẳng (P)
Phương pháp giải
+ Xác định véc tơ chỉ phương của đường thẳng d' là $\vec a$ và véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec b$.
+ Đường thẳng d nhận $\vec u = [\vec a, \vec b]$ làm véc tơ chỉ phương.
+ Đường thẳng d đi qua điểm M và có véc tơ $\vec u$ là véc tơ chỉ phương (Dạng 1).
Dạng 9. Đường thẳng d đi qua điểm M, vuông góc và cắt đường thẳng d'
Phương pháp giải
+ Xác định véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b là $\vec a, \vec b$.
+ Đường thẳng d nhận $\vec u = [\vec a, \vec b]$ làm véc tơ chỉ phương.
+ Đường thẳng d đi qua điểm M và có véc tơ $\vec u$ là véc tơ chỉ phương (Dạng 1).
Dạng 7. Đường thẳng d đi qua điểm M và song song với hai mặt phẳng (P) và (Q) (hoặc nằm trong (P) và song song với (Q))
Phương pháp giải
+ Xác định véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) là $\vec a, \vec b$.
+ Đường thẳng d nhận $\vec u = [\vec a, \vec b]$ làm véc tơ chỉ phương.
+ Đường thẳng d đi qua điểm M và có véc tơ $\vec u$ là véc tơ chỉ phương (Dạng 1).
Dạng 8. Đường thẳng d đi qua điểm M vuông góc với đường thẳng d' và song song với mặt phẳng (P)
Phương pháp giải
+ Xác định véc tơ chỉ phương của đường thẳng d' là $\vec a$ và véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec b$.
+ Đường thẳng d nhận $\vec u = [\vec a, \vec b]$ làm véc tơ chỉ phương.
+ Đường thẳng d đi qua điểm M và có véc tơ $\vec u$ là véc tơ chỉ phương (Dạng 1).
Dạng 9. Đường thẳng d đi qua điểm M, vuông góc và cắt đường thẳng d'
Phương pháp giải
+ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với d' ( (P) đi qua M và nhận véc tơ chỉ phương của d' làm véc tơ pháp tuyến)
+ Xác định điểm B = d' $\cap$ (P)
+ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với d' ( (P) đi qua M và nhận véc tơ chỉ phương của d' làm véc tơ pháp tuyến)
+ Xác định điểm B = d' $\cap$ (P)
+ Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A và B (Dạng 2)
Dạng 10. Đường thẳng d đi qua điểm M và cắt đường thẳng ${d_1}$ và vuông góc với đường thẳng ${d_2}$ cho trước
Phương pháp giải
+ Gọi H = ${d_1} \cap d$, do $H \in {d_1}$ nên H (${x_1} + {a_1}t$; ${x_2} + {a_2}t$; ${x_3} + {a_3}t$)
Dạng 10. Đường thẳng d đi qua điểm M và cắt đường thẳng ${d_1}$ và vuông góc với đường thẳng ${d_2}$ cho trước
+ Gọi H = ${d_1} \cap d$, do $H \in {d_1}$ nên H (${x_1} + {a_1}t$; ${x_2} + {a_2}t$; ${x_3} + {a_3}t$)
+ Vì MH vuông góc với ${d_2}$ nên $\vec {MH}. \vec{u_2} = 0$. Ta được phương trình bậc nhất ẩn t. Giải phương trình tìm được t suy ra tọa độ điểm H.
+ Đường thẳng d đi qua hai điểm M và H (dạng 2).
Dạng 11. Đường thẳng d đi qua điểm M và cắt hai đường thẳng a và b.
Phương pháp giải
Cách 1.
+ Gọi điểm $A \in a$ và $B \in b$. Suy ra A (${x_1} + {a_1}t$; ${x_2} + {a_2}t$; ${x_3} + {a_3}t$), B (${x'_1} + {b_1}t'$; ${x'_2} + {b_2}t'$; ${x'_3} + {b_3}t'$).
+ Đường thẳng d đi qua hai điểm M và H (dạng 2).
Dạng 11. Đường thẳng d đi qua điểm M và cắt hai đường thẳng a và b.
Phương pháp giải
Cách 1.
+ Gọi điểm $A \in a$ và $B \in b$. Suy ra A (${x_1} + {a_1}t$; ${x_2} + {a_2}t$; ${x_3} + {a_3}t$), B (${x'_1} + {b_1}t'$; ${x'_2} + {b_2}t'$; ${x'_3} + {b_3}t'$).
+ Do A, B, M thẳng hàng: $\vec {AB} = k \vec {AM}$ suy ra tọa độ A, B.
+ Đường thẳng d đi qua hai điểm A, B (dạng 2).
Cách 2.
+ Gọi (P) = (M,${d_1}$) và (Q) = (M,${d_2}$).
+ Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) (Dạng 5)
+ Đường thẳng d đi qua hai điểm A, B (dạng 2).
Cách 2.
+ Gọi (P) = (M,${d_1}$) và (Q) = (M,${d_2}$).
+ Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) (Dạng 5)
Dạng 12. Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng a và b.
Phương pháp giải
+ Tìm giao điểm A = a $\cap$ (P) và B = b $\cap$ (P).
+ Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B (Dạng 2).
Dạng 13. Đường thằng d song song với đường thẳng $\Delta$ và cắt cả hai đường thẳng a, b.
Phương pháp giải
+ Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa $\Delta $, a và mặt phẳng (Q) chứa $\Delta $, b.
+ Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) (Dạng 5)
Dạng 14. Đường thẳng d là đường vuông góc chung ${d_1},{d_2}$ chéo nhau
Phương pháp giải
+ Gọi $M \in {d_1}, N \in {d_2}$. Suy ra tọa độ véc tơ $\vec {MN}$.
+ Xác định các véc tơ chỉ phương của ${d_1}, {d_2}$ là $\vec a$ và $\vec b$.
+ Do MN là đường vuông góc chung nên $\vec{MN}. \vec a = 0$ và $\vec{MN}. \vec b = 0$. Ta được hệ 2 phương trình 2 ẩn. Giải hệ ta được tọa độ MN
+ Đường vuông góc chung đi qua 2 điểm M và N (dạng 2)
Dạng 15. Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của đường thẳng $\Delta $ trên mặt phẳng (P)
+ Tìm giao điểm A = a $\cap$ (P) và B = b $\cap$ (P).
+ Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B (Dạng 2).
Dạng 13. Đường thằng d song song với đường thẳng $\Delta$ và cắt cả hai đường thẳng a, b.
Phương pháp giải
+ Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa $\Delta $, a và mặt phẳng (Q) chứa $\Delta $, b.
+ Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) (Dạng 5)
Dạng 14. Đường thẳng d là đường vuông góc chung ${d_1},{d_2}$ chéo nhau
+ Gọi $M \in {d_1}, N \in {d_2}$. Suy ra tọa độ véc tơ $\vec {MN}$.
+ Xác định các véc tơ chỉ phương của ${d_1}, {d_2}$ là $\vec a$ và $\vec b$.
+ Do MN là đường vuông góc chung nên $\vec{MN}. \vec a = 0$ và $\vec{MN}. \vec b = 0$. Ta được hệ 2 phương trình 2 ẩn. Giải hệ ta được tọa độ MN
+ Đường vuông góc chung đi qua 2 điểm M và N (dạng 2)
Dạng 15. Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của đường thẳng $\Delta $ trên mặt phẳng (P)
Phương pháp giải
Trường hợp 1. $\Delta$ // (P)
+ Lấy điểm M trên $\Delta$
+ Tìm hình chiếu H của điểm M trên (P)
+ Đường thẳng d đi qua điểm H và nhận véc tơ chỉ phương của $\Delta$ là véc tơ chỉ phương (Dạng 1)
Trường hợp 2. $\Delta$ cắt (P) tại điểm I.
+ Chọn điểm M $\ne$ I
+ Tìm hình chiếu H của M trên (P)
+ Đường thẳng d đi qua hai điểm I và H (Dạng 2)
Trường hợp 1. $\Delta$ // (P)
+ Lấy điểm M trên $\Delta$
+ Tìm hình chiếu H của điểm M trên (P)
+ Đường thẳng d đi qua điểm H và nhận véc tơ chỉ phương của $\Delta$ là véc tơ chỉ phương (Dạng 1)
Trường hợp 2. $\Delta$ cắt (P) tại điểm I.
+ Chọn điểm M $\ne$ I
+ Tìm hình chiếu H của M trên (P)
+ Đường thẳng d đi qua hai điểm I và H (Dạng 2)
Dạng 16. Viết phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng $\Delta $ qua mặt phẳng (P)
Phương pháp giải
Trường hợp 1. $\Delta$ // (P)
+ Lấy điểm M trên $\Delta$
+ Tìm hình chiếu H của điểm M trên (P); Tìm M' đối xứng với M qua mặt phẳng (P)
+ Đường thẳng d đi qua điểm M' và nhận véc tơ chỉ phương của $\Delta$ là véc tơ chỉ phương (Dạng 1)
Trường hợp 2. $\Delta$ cắt (P) tại điểm I.
+ Chọn điểm M $\ne$ I
+ Tìm hình chiếu H của M trên (P); Tìm điểm M' đối xứng với M qua mặt phẳng (P)
+ Đường thẳng d đi qua hai điểm I và M' (Dạng 2)
Trường hợp 1. $\Delta$ // (P)
+ Lấy điểm M trên $\Delta$
+ Tìm hình chiếu H của điểm M trên (P); Tìm M' đối xứng với M qua mặt phẳng (P)
+ Đường thẳng d đi qua điểm M' và nhận véc tơ chỉ phương của $\Delta$ là véc tơ chỉ phương (Dạng 1)
Trường hợp 2. $\Delta$ cắt (P) tại điểm I.
+ Chọn điểm M $\ne$ I
+ Tìm hình chiếu H của M trên (P); Tìm điểm M' đối xứng với M qua mặt phẳng (P)
+ Đường thẳng d đi qua hai điểm I và M' (Dạng 2)
Bài toán 3. Các bài toán liên quan đến khoảng cách
Dang 1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.Phương pháp giải
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d đi qua điểm ${M_0}$ và có véc tơ chỉ phương $\vec u$ được tính bằng công thức sau:
$d(M,d) = \frac{{|[\overrightarrow {{M_0}M} ,\vec u]|}}{{|\vec u|}}$
Dạng 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song d và d'
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d đi qua điểm ${M_0}$ và có véc tơ chỉ phương $\vec u$ được tính bằng công thức sau:
$d(M,d) = \frac{{|[\overrightarrow {{M_0}M} ,\vec u]|}}{{|\vec u|}}$
Dạng 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song d và d'
Phương pháp giải
+ Chọn một điểm M bất kì trên d.
+ Tính khoảng cách từ M đến đường thẳng d (Dạng 1)
Dạng 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d và d'
+ Chọn một điểm M bất kì trên d.
+ Tính khoảng cách từ M đến đường thẳng d (Dạng 1)
Dạng 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d và d'
Phương pháp giải
Giả sử d đi qua M có véc tơ chỉ phương $\vec u$; d' đi qua M' có véc tơ chỉ phương $\vec u'$.
Giả sử d đi qua M có véc tơ chỉ phương $\vec u$; d' đi qua M' có véc tơ chỉ phương $\vec u'$.
Khoảng cách giữa d và d' tính theo công thức sau:
$d(d,d') = \frac{{|[\vec u,\vec u'].\overrightarrow {{M_0}M} |}}{{|[\vec u,\vec u']|}}$
$d(d,d') = \frac{{|[\vec u,\vec u'].\overrightarrow {{M_0}M} |}}{{|[\vec u,\vec u']|}}$
Tags: #Toán 12,
