Bài tập Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân
Cấp số cộng và cấp số nhân là hai chủ đề quan trọng trong chương trình Toán học, thường xuất hiện trong các bài kiểm tra và thi cử. Trong bài viết này, chúng ta sẽ đi sâu vào các công thức cơ bản và cung cấp các bài tập thực hành để bạn luyện tập.
 |
| Ảnh minh họa |
1. Cấp số cộng
a) Định nghĩa cấp số cộng
Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hay hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số d không đổi, nghĩa là:$\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số cộng $ \Leftrightarrow \forall n \ge 1,{u_{n + 1}} = {u_n} + d \Leftrightarrow d = {u_{n + 1}} - {u_n} = {u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2}$.
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
b) Các tính chất của cấp số cộng
Định lí 1. Nếu $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là ${u_k} = \frac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}$Hệ quả: Ba số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi a + c = 2b.
Định lí 2. Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu ${u_1}$ và công sai d thì số hạng tổng quát ${u_n}$ của nó được xác định bởi công thức sau: ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d$.
Định lí 3. Giả sử $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số cộng có công sai d. Gọi ${S_n} = \sum\limits_{k = 1}^n {{u_k}} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}$ (${S_n}$ là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng). Ta có ${S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}$
2. Cấp số nhân
a) Định nghĩa.
Cấp số nhân là một dãy sô (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứn g ngay trước nó với một số không đổi q Số q được gọi là công bội của cấp số nhân Nếu $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi $${u_{n + 1}} = {u_n}.q$$ với $n \in \mathbb{N^*}$ suy ra $q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}},{u_n} \ne 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.b) Các tính chất của cấp số nhân
Định lí 1. (Số hạng tổng quát) Nếu cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1}$ và công bội q thì số hạng tổng quát ${u_n}$ được xác định bởi công thức: ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}$ với $n \ge 2$.
Định lí 2. Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là $u_k^2 = {u_{k - 1}}.{u_{k + 1}}$ với $k \ge 2$Định lí 3. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với công bội $q \ne 1$ Đặt ${S_n} = \sum\limits_{k = 1}^n {{u_k}} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}$. Khi đó ${S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}$.
3. Bài tập đề nghị
PHẦN 1. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁNCâu 1. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được cho bởi công thức tổng quát ${u_n} = 4 + 3{n^2}$, $n \in {\mathbb{N}^ * }$.Khi đó ${u_6}$ bằng:
A. $112$.
B. $652$.
C. $22$.
D. $503$.
Câu 2. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_n} = \frac{{{n^2} + 3}}{{2{n^2} - 1}}$ với $n \in {N^*}$. Tìm số hạng ${u_5}$.
A. ${u_5} = \frac{7}{4}$.
B. ${u_5} = \frac{7}{9}$.
C. ${u_5} = \frac{{24}}{{51}}.$.
D. ${u_5} = \frac{4}{7}.$
Câu 3. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ xác định bởi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_1} = - 3} \\ {{u_n} = \frac{1}{2}{u_{n - 1}} + 1} \end{array}} \right.$ với $n \in {\mathbb{N}^*},\,n \geqslant 2$. Tìm số hạng ${u_4}$.
A. ${u_4} = \frac{1}{2}$.
B. ${u_4} = 1$.
C. ${u_4} = \frac{{11}}{8}$.
D. ${u_4} = \frac{5}{{88}}$.
Câu 4. Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ nào sau đây là dãy số bị chặn?
A. ${u_n} = {3^n} - 2$.
B. ${u_n} = \frac{{2n + 7}}{{n + 3}}$.
C. ${u_n} = \frac{{{n^2} + 2}}{{n + 3}}$.
D. ${u_n} = {n^2} + 1$.
Câu 5. Dãy số nào trong các dãy số sau đây là dãy số bị chặn?
A. $\left( {{u_n}} \right),\,\,{u_n} = \frac{n}{{n + 1}}\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.
B. $\left( {{u_n}} \right),\,\,{u_n} = n + 1\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.
C. $\left( {{u_n}} \right),\,\,{u_n} = - n\,\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.
D. $\left( {{u_n}} \right),\,\,{u_n} = {n^2}\,\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.
Câu 6. Cho $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số cộng có số hạng đầu ${u_1} = 2$, công sai $d = - 5$. Tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng đó là:
A. $ - 410$.
B. $ - 205$.
C. 245.
D. $ - 230$.
Câu 7. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 2$, $d = 3$. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là
A. 20.
B. 21.
C. 19.
D. 23.
Câu 8. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$với ${u_5} = 11$và ${u_6} = 14$. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
A. $ - 6$.
B. $3$.
C. $12$.
D. $6$.
Câu 9. Tìm tất cả các số thực $x$ để ba số ${x^2}$;${x^2} + 1$;$3x$ theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng?
A. $x = 2$.
B. $x \in \left\{ {1,2} \right\}$.
C. $x = 0$.
D. $x \in \left\{ {2,3} \right\}$.
Câu 10. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1} = 2$ và công bội $q = - 2$. Giá trị ${u_5}$ là:
A. $ - 32$.
B. $ - 16$.
C. $ - 6$.
D. 32.
Câu 11. Một cấp số nhân có số hạng thứ bảy bằng $\frac{1}{2}$, công bội bằng $\frac{1}{4}$. Hỏi số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng bao nhiêu?
A. 4096.
B. 2048.
C. 1024.
D. $\frac{1}{{512}}$.
Câu 12. Cho $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân có ${u_1} = \frac{1}{3};{u_8} = 729$. Tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân đó là:
A. $\frac{{1 - {3^8}}}{2}$.
B. $\frac{{{3^8} - 1}}{6}$.
C. $\frac{{{3^8} - 1}}{2}$.
D. $\frac{{1 - {3^8}}}{6}$.
PHẦN 2. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/ SAI
Câu 1. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được xác định như sau: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_1} = 2} \\ {{u_{n + 1}} = {u_n} + 5} \end{array}} \right.$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Năm số hạng đầu của dãy số là: ${u_1} = 2;{u_2} = 7;{u_3} = 12;{u_4} = 17;{u_5} = 22$.
b) Số hạng tổng quát của dãy $\left( {{u_n}} \right)$ là ${u_n} = 5n - 3$
c) Số hạng ${u_{50}}$ bằng $247$
d) 512 là số hạng thứ 102 của dãy $\left( {{u_n}} \right)$.
Câu 2. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1} = \frac{3}{2}$, công sai $d = \frac{1}{2}$. Khi đó:
a) Công thức cho số hạng tổng quát ${u_n} = 1 + \frac{n}{3}$.
b) 5 là số hạng thứ 8 của cấp số cộng đã cho.
c) $\frac{{15}}{4}$ một số hạng của cấp số cộng đã cho.
d) Tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ bằng $2620$.
Câu 3. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ thoả mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_1} - {u_3} + {u_5} = 15} \\ {{u_1} + {u_6} = 27} \end{array}} \right.$. Khi đó
a) Số hạng ${u_1} = 21$
b) Công sai của cấp số cộng bằng $ - 2$
c) Số hạng ${u_{11}} = - 9$
d) Số $ - 6048$ là số hạng thứ $2024$
Câu 4. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với công bội $q < 0$ và ${u_2} = 4,{u_4} = 9$. Khi đó:
a) Số hạng đầu ${u_1} = - \frac{8}{3}$.
b) Số hạng ${u_5} = \frac{{27}}{2}$.
c) $ - \frac{{2187}}{{32}}$ là số hạng thứ 8.
d) Cấp số nhân có công bội $q = - \frac{3}{2}$.
PHẦN 3. TRẢ LỜI NGẮN
Câu 1. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ xác định bởi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_1} = 4} \\ {{u_{n + 1}} = {u_n} + n} \end{array}(n \geqslant 1)} \right.$. Tìm số hạng thứ năm của dãy số đó.
Câu 2. Tính tổng 6 số hạng đầu của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_n} = 3n - 1$.
Câu 3. Tìm $x$ để $2x,3x + 2$ và $5x + 3$ là các số hạng liên tiếp của một cấp số cộng.
Câu 4. Một rạp hát có 20 hàng ghế. Hàng thứ nhất có 20 ghế, số ghế ở các hàng sau đều hơn số ghế hàng ngay trước đó một ghế. Cho biết rạp hát đã bán hết vé với giá mỗi vé là 60 (nghìn đồng). Tính tổng số tiền vé thu được của rạp hát (đơn vị: nghìn đồng)
Câu 5. Tìm số hạng đầu của cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, biết $\begin{gathered} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_5} - {u_2} = 78} \\ {{u_6} - {u_3} = 234.{\text{ }}} \end{array}} \right. \end{gathered} $
Câu 6. Bác Năm gửi tiết kiệm vào ngân hàng 100 triệu đồng với hình thức lãi kép, kì hạn một năm với lãi suất $8\% $ / năm. Tính số tiền cả gốc và lãi bác Năm nhận được sau 10 năm. (Giả sử lãi suất không thay đổi trong suốt thời gian gửi tiền)
----Hết----
Cấp số cộng và cấp số nhân là hai loại dãy số có tính ứng dụng cao trong Toán học và các lĩnh vực khác. Việc hiểu rõ và luyện tập thường xuyên với các bài tập này sẽ giúp bạn nắm chắc công thức và dễ dàng áp dụng vào các bài thi. Hãy tiếp tục luyện tập và khám phá thêm những chủ đề thú vị khác trong Toán học nhé!Tags: # Ôn thi tốt nghiệp
