Tọa độ của điểm và véc tơ trong không gian Oxyz - Toán 12
Hệ trục tọa độ Oxyz
+ Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông
góc.
+ Trục Ox: trục hoành, có véc tơ đơn vị $\overrightarrow i = (1;0;0)$.
+ Trục Oy: trục tung, có véc tơ đơn vị $\overrightarrow j = (0;1;0)$.
+ Trục Oz: trục cao, có véc tơ đơn vị $\overrightarrow k = (0;0;1)$.
+ Điểm $O(0; 0; 0)$ là gốc tọa độ.
+ Trục Ox: trục hoành, có véc tơ đơn vị $\overrightarrow i = (1;0;0)$.
+ Trục Oy: trục tung, có véc tơ đơn vị $\overrightarrow j = (0;1;0)$.
+ Trục Oz: trục cao, có véc tơ đơn vị $\overrightarrow k = (0;0;1)$.
+ Điểm $O(0; 0; 0)$ là gốc tọa độ.
Tọa độ véc tơ
$$\boxed{\overrightarrow u = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j +
z\overrightarrow k \Leftrightarrow \overrightarrow u = (x;y;z)}$$
Biểu thức tọa độ phép toán véc tơ
$\overrightarrow a = ({a_1};{a_2};{a_3}),\,\,\,\overrightarrow b = ({b_1};{b_2};{b_3})$. Ta có:
+ Phép cộng, trừ: $\vec a \pm \vec b\, = \,\,({a_1} \pm {b_1};\,\,{a_2} \pm {b_2};\,\,{a_3} \pm {b_3})$.+ Phép nhân với một số: $k\vec a\,\, = \,\,(k{a_1};\,\,k{a_2};\,\,k{a_3})$.
Nhận xét:
-
$\overrightarrow a $ cùng phương $\overrightarrow b $ $
\Leftrightarrow \,\overrightarrow a = k\overrightarrow b \,\,\,(k \in
\mathbb{R})$
$ \Leftrightarrow$$\begin{cases}{a_1}= k{b_1}\\ {a_2}=k{b_2}\\ {a_3}=k{b_3} \end{cases}$
hay $\frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{{a_3}}}{{{b_3}}},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ({b_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {b_2},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {b_3} \ne 0)$ - $\overrightarrow a = \overrightarrow b $$\Leftrightarrow$$\begin{cases}{a_1}= {b_1}\\ {a_2}={b_2}\\ {a_3}={b_3} \end{cases}$
Tích vô hướng của hai véc tơ
$\vec a.\vec b = {a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2} + {a_3}.{b_3}$
Hệ quả
+ Độ dài véc tơ: $\left| {\vec a} \right| = \,\,\sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_2^2} $
+ Góc giữa hai véc tơ:
$\cos (\vec a,\,\,\vec b)\,\, = \,\frac{{\vec a.\vec b}}{{\left| {\vec a}
\right|.\left| {\vec b} \right|}}\,\, = \,\,\frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}
+ {a_3}{b_3}}}{{\sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} .\sqrt {b_1^2 + b_2^2 +
b_3^2} }}$
Đặc biệt:
$\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow
a .\overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} +
{a_3}{b_3} = 0$
Tọa độ điểm
$\boxed{M(x;\,\,y;\,\,z) \Leftrightarrow \overrightarrow {OM} \,\, =
\,\,(x;\,y;\,z)}$
Cho
$A({x_A};\,\,{y_A};\,\,{z_A})\,\,,\,\,\,B({x_B};\,\,{y_B};\,\,{z_B})\,\,,\,\,\,C({x_C};{y_C};{z_C})$
+ Tọa độ véc tơ
$\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} -
{z_A})$
+ Khoảng cách giữa hai điểm A,B
$AB = \sqrt {{{({x_B} - {x_A})}^2} + {{({y_B} - {y_A})}^2} + {{({z_B} - {z_A})}^2}} $
$AB = \sqrt {{{({x_B} - {x_A})}^2} + {{({y_B} - {y_A})}^2} + {{({z_B} - {z_A})}^2}} $
+ Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB
$M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A}
+ {z_B}}}{2}} \right).$
+ Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
$G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} +
{y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right).$
Quy tắc chiếu đặc biệt
Cho điểm $M\left( {x,\,y,\,z} \right)$
Chiếu điểm trên các trục tọa độ
+ Trên Ox: ${M_1}\left( {x,\,0,\,0} \right)$ (giữ nguyên x)
+ Trên Oy: ${M_2}\left( {0,\,y,\,0} \right)$ (giữ nguyên y)
+ Trên Oz: ${M_3}\left( {0,\,0,\,z} \right)$ (giữ nguyên z)
Chiếu điểm trên mặt phẳng tọa độ
+ Trên (Oxy): ${M_1}\left( {x,\,y,\,0} \right)$ (giữ nguyên x, y)
+ Trên (Oyz): ${M_2}\left( {0,\,y,\,z} \right) $ (giữ nguyên y, z)
+ Trên (Oxz): ${M_3}\left( {x,\,0,\,z} \right)$ (giữ nguyên x, z)
Điểm đối xứng qua các trục tọa độ
Qua Ox: ${M_1}\left( {x,\,-y,\,-z} \right)$ (giữ nguyên x, đổi dấu y và z)
Qua Oy: ${M_2}\left( {-x,\,y,\,-z} \right)$ (giữ nguyên y, đổi dấu x và z)
Qua Oz: ${M_3}\left( {-x,\,-y,\,z} \right)$ (giữ nguyên z, đổi dấu x và y)
Điểm đối xứng qua các mặt phẳng tọa độ
Qua (Oxy): ${M_1}\left( {x,\,y,\,-z} \right)$ (giữ nguyên x, y đổi dấu z)
Qua (Oyz): ${M_2}\left( {-x,\,y,\,z} \right)$ (giữ nguyên y, z đổi dấu x)
Qua (Oxz): ${M_3}\left( {x,\,-y,\,z} \right)$ (giữ nguyên x, z đổi dấu y)
Tích có hướng của hai véc tơ
Định nghĩa.Cho $\overrightarrow a = ({a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3})$,
$\overrightarrow b = ({b_1},\,\,{b_2},\,\,{b_3})$.
Tích có hướng của $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là:
Tích có hướng của $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là:
$\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left(
{{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} -
{a_2}{b_1}} \right)$
Tính chất
+ $[\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b ]\,\, \bot
\,\,\overrightarrow a $
+ $[\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b ]\,\, \bot
\,\,\overrightarrow b $.
+ $\left| {[\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b ]} \right|\,\, =
\,\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|.\sin \left( {\vec a,\vec
b} \right)$.
Hệ quả
+ Điều kiện cùng phương của hai véc tơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là $\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \overrightarrow 0 $
+ Điều kiện đồng phẳng của ba véc tơ
$\overrightarrow a $, $\overrightarrow b$, $\overrightarrow c $ là
$[\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b ]\,.\overrightarrow c = 0.$
+ Diện tích hình bình hành ABCD:
${S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD}
} \right]} \right|.$
+ Diện tích tam giác ABC:
${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB}
,\,\,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|.$
+ Thể tích khối hộp:
${V_{ABCD.A'B'C'D'}}\,\, = \,\,\left| {[\overrightarrow {AB}
,\,\,\overrightarrow {AD} ].\overrightarrow {AA} '} \right|.$
+ Thể tích tứ diện:
${V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB}
,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|$
