Hai đường thẳng song song trong không gian - Toán 11
Hai đường thẳng song song
1. Định nghĩa
Hai đường thẳng a và b gọi là song song với nhau nếu a, b đồng phẳng và không có điểm chung.
Nhận xét.Tồn tại duy nhất một mặt
phẳng qua hai đường thẳng song song.
2. Tính chất
i) Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng qui hoặc đôi một song song.
ii) Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
iii) Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Bài toán. Chứng minh hai đường thẳng song song
Phương pháp giải
Có thể sử dụng một trong các cách sau:
Cách 1. Sử dụng định nghĩa chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talét đảo, …).
Cách 2. Áp dụng định lí về giao tuyến song song.
Cách 3. Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba
Ví dụ.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với đáy lớn AB. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của SA và SB.
a) Chứng minh: MN // CD.
b) Tìm giao điểm P của SC với (AND). Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I.
Chứng minh SI // AB // CD. Tứ giác SABI là hình gì?
Giải
(Note: Ta nhận thấy MN và CD cùng song song với AB ta sử dụng cách 2)
Trong mp (SAB) có MN // AB (Vì MN là đường trung bình của tam giác ABC)
Trong mp (ABCD) có CD // AB (vì ABCD là hình thang)
Suy ra MN // CD
b) Chọn (SBC) chứa SC.
(ADN) và (SBC) có điểm N chung
Trong (ABCD) kéo dài AD và BC, Gọi E = AD $\cap$ BC.
Ta có: E $\in$ AD nên E $\in$ (ADN);
E $\in$ BC nên E $\in$ (SBC)
Vậy (ADN) và (SBC) có điểm E chung.
Suy ra (ADN) $\cap$ (SBC) = NE
Gọi P = NE $\cap$ SC. Suy raP = SC $\cap$ (ADN).
Trong (ADN) kéo dài AN và DP. Gọi I = AN $\cap$ DP.
Ta chứng minh SI // CD // AB.
Trong tam giác ASI có MN // SI (Vì MN là đường trung bình của tam giác ASI)
Mà theo ý a) ta có MN // CD nên SI // CD.
Ta lại có CD // AB nên SI // CD // AB.
Trong mp (ABCD) có CD // AB (vì ABCD là hình thang)
Suy ra MN // CD
b) Chọn (SBC) chứa SC.
(ADN) và (SBC) có điểm N chung
Trong (ABCD) kéo dài AD và BC, Gọi E = AD $\cap$ BC.
Ta có: E $\in$ AD nên E $\in$ (ADN);
E $\in$ BC nên E $\in$ (SBC)
Vậy (ADN) và (SBC) có điểm E chung.
Suy ra (ADN) $\cap$ (SBC) = NE
Gọi P = NE $\cap$ SC. Suy raP = SC $\cap$ (ADN).
Trong (ADN) kéo dài AN và DP. Gọi I = AN $\cap$ DP.
Ta chứng minh SI // CD // AB.
Trong tam giác ASI có MN // SI (Vì MN là đường trung bình của tam giác ASI)
Mà theo ý a) ta có MN // CD nên SI // CD.
Ta lại có CD // AB nên SI // CD // AB.
Bài tập đề nghị
Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam
giác ABC, ABD. Chứng minh IJ//CD.
Bài 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi
M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC, BD.
a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành.
b) Từ đó suy ra ba đoạn MN, PQ, RS cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.
Tham khảo thêm bài viết:
Tags: #Toán 11
