Lũy thừa và logarit - Toán 12
1.1 Lũy thừa số mũ tự nhiên
Với mỗi số nguyên dương $n$, lũy thừa bậc $n$ của số $a$ là số $a^n$ được xác định bởi $$a^n=a.a\ldots a$$ $n$ lần $a$ nhân lại với nhau.
$a$ được gọi là cơ số.
$n$ được gọi là số mũ.
1.2 Lũy thừa với số mũ nguyên âm, 0
Cho $a\ne 0, n=0$ hoặc n là một số nguyên âm, lũy thừa bậc n của a là số $a^n$ xác định bởi $$a^0=1\ \text{hoặc}\ a^n=\frac{1}{a^{-n}}$$
Chú ý.
$0^0, 0^n$ (với n nguyên âm) là không có nghĩa
1.3 Lũy thừa với số mũ hữu tỷ
Người ta định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ thông qua căn bậc n của một số thực a.
Cho a là một số thực dương và r là một số hữu tỷ, giả sử $r=\frac{m}{n}, (m\in \mathbb Z, n\in \mathbb N^*)$. Khi đó lũy thừa của a với số mũ r là số $a^r$ được xác định bởi $$a^r=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$
1.4 Lũy thừa với số mũ thực
Tự đọc thêm.
1.5 Tóm tắt điều kiện của cơ số của hàm số mũ
- Mũ tự nhiên (khác 0): Cơ số bất kỳ ($a\in \mathbb R$)
- Mũ nguyên âm hoặc bằng 0: Cơ số phải khác $0$ ($a\in \mathbb R\backslash \{0\}$)
- Mũ không nguyên: cơ số phải dương ($a>0$)
2. So sánh các lũy thừa
Định lý. Cho $m,n$ là các số nguyên. Khi đó
Với $a>1$ thì $a^m>a^n\Leftrightarrow m>n$
Với $0<a<1$ thì $a^m>a^n\Leftrightarrow m<n$
Hệ quả.
Cho $0<a<b$ và m là số nguyên. Khi đó
$a^m<b^m\Leftrightarrow m>0$
$a^m>b^m\Leftrightarrow m<0$
Hệ quả.
Cho $a<b$ và n lẻ thì $a^n<b^n$
Hệ quả.
Cho $a,b>0$, $n$ là số nguyên khác 0. Khi đó $$a^n=b^n\Leftrightarrow a=b$$
2. Logarit
2.1. Định nghĩa
2.2. Công thức cần ghi nhớ
2.2.1. Công thức cơ bản
Lưu ý. Với $\log_ab$, ta luôn xem $a>0,a\ne 1$ và $b>0$.
- $\log_a1=0$
- $\log_aa=1$
- $\log_aa^b=b,\forall b\in\mathbb R$
- $a^{\log_ab}=b, \forall b>0$
2.2.2. So sánh các logarit
Nếu $a>1$ thì $\log_ab>\log_ac\Leftrightarrow b>c$
Nếu $0<a<1$ thì $\log_ab>\log_ac\Leftrightarrow b<c$
Hệ quả
- $a>1$
- $\log_ab>0\Leftrightarrow b>1$
- $<0a<1$
- $\log_ab>0\Leftrightarrow b<1$
- $\log_ab=\log_ac\Leftrightarrow b=c$
Nhận xét
- $\log_ab>0$ khi $a,b$ nằm cùng phía với 1.
- $\log_ab<0$ khi $a,b$ nằm khác phía với 1.
- Nếu $a>1$ thì $\log_ab>1\Leftrightarrow b>a$
- Nếu $0<a<1$ thì $\log_ab>1\Leftrightarrow b<a$
2.2.3. Quy tắc tính logarit
- $\displaystyle \log_a(bc)=\log_ab+\log_ac$ (logarit của một tích bằng tổng các logarit)
- $\displaystyle \log_a(\frac{b}{c})=\log_ab-\log_ac$ (logarit của một thương bằng hiệu các logarit)
- $\log_ab^{\alpha}=\alpha\log_ab$. Hai hệ quả của nó
- $\displaystyle \log_a\frac{1}{b}=-\log_ab$
- $\displaystyle \log_a\sqrt[n]{b}=\frac{1}{n}\log_ab$
- $\displaystyle \log_cb=\frac{\log_ab}{\log_ac}$ hay $\log_ab\log_bc=\log_ac$. Đây gọi là công thức đổi cơ số của logarit, một hệ quả của nó
