Logarit hàm số đặc trưng (khó) - Tổng ôn thi tốt nghiệp

HÀM ĐẶC TRƯNG

Các em cần ghi nhớ hai tính chất trên để có thể vận dụng linh hoạt vào một số bài toán

---

ỨNG DỤNG

Ứng dụng hai tính chất trên vào giải một số phương trình logarit

Giải phương trình: $\ln \left( \dfrac{2{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}+x+1} \right)={{x}^{2}}-x$

Không cần điều kiện vì $\dfrac{2{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}+x+1}>0$ với $\forall x\in \mathbb{R}$

$\ln \left( \dfrac{2{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}+x+1} \right)={{x}^{2}}-x$

$\Leftrightarrow \ln \left( 2{{x}^{2}}+1 \right)-\ln \left( {{x}^{2}}+x+1 \right)={{x}^{2}}-x$

$\Leftrightarrow \ln \left( 2{{x}^{2}}+1 \right)-\ln \left( {{x}^{2}}+x+1 \right)=\left( 2{{x}^{2}}+1 \right)-\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)$

$\Leftrightarrow \ln \left( 2{{x}^{2}}+1 \right)-\left( 2{{x}^{2}}+1 \right)=\ln \left( {{x}^{2}}+x+1 \right)-\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\left( * \right)$

Ta đặt $\left\{ \begin{align} & u=2{{x}^{2}}+1 \\ & v={{x}^{2}}+x+1 \\ \end{align} \right.$. 

Khi đó ta có

$\left( * \right)\Leftrightarrow \ln u-u=\ln v-v\left( ** \right)$

Xét hàm đặc trưng: 

$f\left( t \right)=\ln t-t$ với $t\in \left( 1;+\infty \right)$

Ta có $f'\left( t \right)=\dfrac{1}{t}-1<0,\forall t\in \left( 1;+\infty \right)$

Do đó hàm số $f\left( t \right)$ nghịch biến trên $\left( 1;+\infty \right)$

Khi đó $\left( ** \right)\Leftrightarrow f\left( u \right)=f\left( v \right)$, và do $f\left( t \right)$ đơn điệu nên $u=v\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+1={{x}^{2}}+x+1$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=1 \\ \end{align} \right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình $S=\left\{ 0;1 \right\}$

---

Ví dụ 2. Giải phương trình ${{\log }_{2}}\left( \dfrac{{{x}^{2}}+x+3}{2{{x}^{2}}+4x+5} \right)={{x}^{2}}+3x+2\left( * \right)$

Những dạng bài toán kiểu không thể xử lý theo cách thông thường như thế này ta sẽ nghĩ tới hàm đặc trưng

Trước tiên ta sẽ tìm mối liên hệ giữa ${{x}^{2}}+x+3$; $2{{x}^{2}}+4x+5$ và ${{x}^{2}}+3x+2$

Dễ thấy $\left( 2{{x}^{2}}+4x+5 \right)-\left( {{x}^{2}}+x+3 \right)={{x}^{2}}+3x+2$

Bài này ta cũng không cần điều kiện vì $\dfrac{{{x}^{2}}+x+3}{2{{x}^{2}}+4x+5}>0,\forall x\in \mathbb{R}$

Ta biết đổi phương trình ban đầu

$\left( * \right)\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+x+3 \right)-{{\log }_{2}}\left( 2{{x}^{2}}+4x+5 \right)$

=$\left( 2{{x}^{2}}+4x+5 \right)-\left( {{x}^{2}}+x+3 \right)$

$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+x+3 \right)+\left( {{x}^{2}}+x+3 \right)$

=${{\log }_{2}}\left( 2{{x}^{2}}+4x+5 \right)+\left( 2{{x}^{2}}+4x+5 \right)$

Ta đặt $\left\{ \begin{align} & u={{x}^{2}}+x+3 \\ & v=2{{x}^{2}}+4x+5 \\ \end{align} \right.$. 

Khi đó ta có

$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}u+u={{\log }_{2}}v+v\left( ** \right)$

Xét hàm đặc trưng: $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t$ với $t\in \left( 0;+\infty \right)$

$f'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 2}+1>0$ với $t\in \left( 0;+\infty \right)$

Do đó $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$

Khi đó $\left( ** \right)\Leftrightarrow f\left( u \right)=f\left( v \right)\Leftrightarrow u=v$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x+3=2{{x}^{2}}+4x+5$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+3x+2=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-1 \\ & x=-2 \\ \end{align} \right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{ -2;-1 \right\}$

Tags: # Ôn thi tốt nghiệp