Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Ôn thi tốt nghiệp

Bài toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Đối với dạng này điểm cần tìm khoảng cách nằm trong mặt phẳng đáy còn mặt phẳng cần tìm khoảng cách sẽ chứa đường cao của hình

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và $AB=a;BC=a\sqrt 2$. Biết $SA\perp (ABC)$

a) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB).

b) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).

Giải

a) Tính $d(C;(SAB))$

$BC\perp AB$ (Do tam giác ABC là tam giác vuông tại B)

$BC\perp SA$ (Do $SA\perp (ABC)$)

Suy ra $BC\perp (SAB)$

Hay $d(C;(SAB))=BC=a\sqrt 2$

b) Tính $d(B;(SAC))$

Trong mặt phẳng đáy (ABC) dựng $BH\perp AC$, $H\in AC$

$BH\perp AC$ (Cách dựng)

$BH\perp SA$ (Do $SA\perp (ABC)$)

Suy ra $BH\perp (SAC)$

Hay $d(B;(SAC))=BH$

Tính BH

Trong tam giác ABC là tam giác vuông tại B có BH là đường cao

Ta có

$\displaystyle \frac{1}{BH^2}=\frac{1}{BA^2}+\frac{1}{BC^2}$$\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{BH^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{(a\sqrt 2)^2}=\frac{3}{2a^2}$

$\displaystyle \Rightarrow BH^2=\frac{2a^2}{3}$$\displaystyle \Rightarrow BH=\frac{a\sqrt 6}{3}$

2. Khoảng cách từ điểm (chân đường cao) đến mặt phẳng

Đây là dạng bài toán cho chóp S.ABC và có $SA\perp (ABC)$. Tính khoảng cách từ A (chân đường cao) đến mặt phẳng (SBC)

Để làm được dạng bài toán này thực hiện theo 3 trường hợp sau: