Giới hạn của hàm số - công thức và cách giải chi tiết
Giới hạn của hàm số là một khái niệm quan trọng trong giải tích và toán học cao cấp. Khái niệm giới hạn của hàm số đóng vai trò nền tảng trong việc xác định tính liên tục, đạo hàm và tích phân của hàm số. Bài viết chia sẻ các công thức cơ bản, các dạng bài tập nhằm giúp các em học tập hiệu quả chủ đề giới hạn của hàm số.
 |
| Ảnh minh họa |
1. Giới hạn hữu hạn của hàm số
a. Một số giới hạn đặc biệt
- $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = {x_0}$
- $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c = c$ (c: hằng số)
- $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c = c$
- $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = 0$
b. Định lí về giới hạn hữu hạn của hàm số
a) Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = M$ thì
- $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x) + g(x)} \right] = L + M$.
- $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x) - g(x)} \right] = L - M$.
- $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x).g(x)} \right] = L.M$.
- $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \frac{L}{M}$ (với $M \ne 0$.
b) Nếu $f(x) \ge 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L$ thì $L \ge 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f(x)} = \sqrt L $.
c) Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L$ thì $\mathop
{\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left| {f(x)} \right| = \left| L
\right|$.
2. Giới hạn một bên
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = \mathop {\lim
}\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = L$
3. Giới hạn vô cực của hàm số
Giới hạn đặc biệt
- $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^k} = + \infty $
- $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = + \infty $ nếu k chẵn
- $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = - \infty $ nếu k lẻ
- $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{x} = - \infty $
- $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x} = + \infty $
- $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{{\left| x \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\left| x \right|}} = + \infty $
3. Định lý về giới hạn vô cực của hàm số
a. Giới hạn dạng tích $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x).g(x)$
| $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L $ | $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x)$ | $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x).g(x)$ |
| $L > 0$ | $+ \infty$ | $+ \infty$ |
| $L > 0$ | $- \infty$ | $- \infty$ |
| $L < 0$ | $+ \infty$ | $- \infty$ |
| $L < 0$ | $- \infty$ | $+ \infty$ |
b. Giới hạn dạng thương $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}}$
| $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L $ | $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x)$ | Dấu của g(x) | $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}}$ |
| $L > 0$ | $0$ | $+$ | $+ \infty$ |
| $L > 0$ | $0$ | $-$ | $- \infty$ |
| $L < 0$ | $0$ | $+$ | $- \infty$ |
| $L < 0$ | $0$ | $-$ | $+ \infty$ |
4. Các dạng bài tập giới hạn hàm số
Vấn đề 1. Dạng vô định $\frac{0}{0}$
1. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}}
\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$ với P(x), Q(x) là các đa thức và $P(x_0) = Q(x_0) = 0$
Phương pháp giải: Phân tích P(x), Q(x)
thành nhân tử rồi rút gọn
2. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$ với P(x0) = Q(x0) = 0 P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng
bậc
Phương pháp giải: Sử dụng hằng đẳng thức
${a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b}
\right)$
${a^3} \pm {b^3} = \left( {a \pm b} \right)\left( {{a^2} \mp ab +
{b^3}} \right)$
phá căn thức rồi rút gọn
Ví dụ 1. Tính giới hạn:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} - 8}}{{{x^2} - 4}}$
Giải
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} - 8}}{{{x^2} - 4}} =
\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x - 2)({x^2} + 2x + 4)}}{{(x -
2)(x + 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x
+ 2}} = \frac{{12}}{4} = 3$
Ví dụ 2. Tính giới hạn
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{x}$
Giải
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{x} =
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {2 - \sqrt {4 - x} }
\right)\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}}{{x\left( {2 + \sqrt {4 - x} }
\right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{2 + \sqrt {4 - x}
}} = \frac{1}{4}$
Vấn đề 2. Dạng vô định $\frac{\infty }{\infty }$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty }
\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$ với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn.
Phương pháp giải
– Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và
mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.
– Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử
và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp.
Ví dụ 3: Tính giới hạn
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{x^2} + 5x -
3}}{{{x^2} + 6x + 3}}$
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - 3}}{{\sqrt
{{x^2} + 1} - x}}$
Giải
a)$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{x^2} + 5x -
3}}{{{x^2} + 6x + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty }
\frac{{2 + \frac{5}{x} - \frac{3}{{{x^2}}}}}{{1 + \frac{6}{x} +
\frac{3}{{{x^2}}}}} = 2$
b)$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - 3}}{{\sqrt
{{x^2} + 1} - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty }
\frac{{2 - \frac{3}{x}}}{{ - \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} - 1}}
= - 1$
Vấn đề 3. Dạng vô định $\infty - \infty $
Giới hạn dạng này thường có chứa căn thường sử dụng phương pháp nhân
lượng liên hợp của tử và mẫu.
Ví dụ 4: Tính giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left(
{\sqrt {1 + x} - \sqrt x } \right)$
Giải
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {1
+ x} - \sqrt x } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x
\to + \infty } \frac{{\left( {\sqrt {1 + x} - \sqrt x
} \right)\left( {\sqrt {1 + x} + \sqrt x } \right)}}{{\sqrt
{1 + x} + \sqrt x }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to +
\infty } \frac{1}{{\sqrt {1 + x} + \sqrt x }} = 0$
Giải
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {1 + x} - \sqrt x } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {\sqrt {1 + x} - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt {1 + x} + \sqrt x } \right)}}{{\sqrt {1 + x} + \sqrt x }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{\sqrt {1 + x} + \sqrt x }} = 0$
Vấn đề 4. Dạng vô định $0.\infty $
Ví dụ 5: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (x - 2)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 4}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt {x - 2} .\sqrt x }}{{\sqrt {x + 2} }} = \frac{{0.\sqrt 2 }}{2} = 0$
Tham khảo thêm bài viết: Tài liệu. Bài tập giới hạn và liên tục
Tags: # Toán 11
