Cấp số nhân là gì ? Công thức và ứng dụng
Cấp số nhân là một trong những khái niệm cơ bản trong toán học, thường được áp dụng trong nhiều lĩnh vực từ tài chính đến khoa học tự nhiên. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu chi tiết về cấp số nhân, công thức tính và những ví dụ thực tế để dễ dàng hiểu và ứng dụng.
1. Định nghĩa cấp số nhân
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi $q$
Số $q$ được gọi là công bội của cấp số nhân
$$\boxed{{{u}_{n+1}}={{u}_{n}}q}$$
2. Số hạng tổng quát của cấp số nhân
$${{u}_{n+1}}={{u}_{1}}{{q}^{n-1}},\left( n\ge 2 \right)$$
3. Tính chất
$$u_{k}^{2}={{u}_{k-1}}{{u}_{k+1}},\left( k\ge 2 \right)$$
4. Tổng của $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân
$${{S}_{n}}=\dfrac{{{u}_{1}}\left( 1-{{q}^{n}} \right)}{1-q}$$
Ảnh minh họa |
5. Một số dạng bài tập
Ví dụ 1. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân biết $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}+{{u}_{5}}=51 \\ & {{u}_{2}}+{{u}_{6}}=102 \\ \end{align} \right.$
Ta có $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}+{{u}_{5}}=51 \\ & {{u}_{2}}+{{u}_{6}}=102 \\ \end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}+{{u}_{1}}{{q}^{4}}=51 \\ & {{u}_{1}}q+{{u}_{1}}{{q}^{5}}=102 \\ \end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}\left( 1+{{q}^{4}} \right)=51\left( * \right) \\ & {{u}_{1}}q\left( 1+{{q}^{4}} \right)=102\left( ** \right) \\ \end{align} \right.$
Lập tỷ số ta được $\dfrac{{{u}_{1}}\left( 1+{{q}^{4}} \right)}{{{u}_{1}}q\left( 1+{{q}^{4}} \right)}=\dfrac{51}{102}\Leftrightarrow \dfrac{1}{q}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow q=2$
Thay q=2 vào $\left( * \right)$ ta được: ${{u}_{1}}\left( 1+{{2}^{4}} \right)=51\Leftrightarrow {{u}_{1}}=3$
Ví dụ 2. Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$, biết ${{u}_{1}}=3$ và $q=\dfrac{1}{2}$.
a) Tính ${{u}_{7}}$
b) Hỏi $\dfrac{3}{256}$ là số hạng thứ mấy?
a) Ta có: ${{u}_{7}}={{u}_{1}}{{q}^{6}}=3.{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{6}}=\dfrac{3}{64}$
b) Ta có: ${{u}_{n}}={{u}_{1}}{{q}^{n-1}}\Leftrightarrow \dfrac{3}{256}=3.{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{n-1}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{8}}={{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{n-1}}$
$\Leftrightarrow n-1=8\Leftrightarrow n=9$
Vậy $\dfrac{3}{256}$ là số hạng thứ 9
Ví dụ 3. Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$, biết ${{u}_{1}}=2;{{u}_{3}}=18$. Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên
Ta có: ${{u}_{3}}={{u}_{1}}{{q}^{2}}\Leftrightarrow 18=2{{q}^{2}}\Leftrightarrow {{q}^{2}}=9\Leftrightarrow q=\pm 3$
TH1: $q=3$, ta có ${{S}_{10}}=\dfrac{2\left( 1-{{3}^{10}} \right)}{1-3}=59048$
TH2: $q=-3$, ta có ${{S}_{10}}=\dfrac{2\left( 1-{{\left( -3 \right)}^{10}} \right)}{1-\left( -3 \right)}=-29524$
Ví dụ 4. Tính tổng $S=1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{{{3}^{2}}}+\cdots +\dfrac{1}{{{3}^{n}}}$
Nhận xét, dãy $1;\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{{{3}^{2}}};\ldots ;\dfrac{1}{{{3}^{n}}}$ là một cấp số nhân với $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=1 \\ & q=\dfrac{1}{3} \\ \end{align} \right.$
Khi đó $S$ là tổng của cấp số nhân
$S=\dfrac{{{u}_{1}}\left( 1-{{q}^{n}} \right)}{1-q}=\dfrac{1\left(
1-{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{n}}
\right)}{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{3}{2}\cdot \left( 1-\dfrac{1}{{{3}^{n}}}
\right)$
6. Ứng dụng cấp số nhân trong thực tế
Ứng dụng trong tài chính
Cấp số nhân thường dùng để tính "Lãi kép" trong đầu tư
Ví dụ. Bác
Năm gửi tiết kiệm vào ngân hàng 100 triệu đồng với hình thức "lãi kép", kì hạn một
năm với lãi suất 8%/năm. Tính số tiền cả gốc và lãi bác Năm nhận
được sau 10 năm. (Giả sử lãi suất không thay đổi trong suốt thời gian gửi tiền)
- A là số tiền năm thứ n
- P là số tiền gốc (Ban đầu)
- r là lãi suất hàng năm
- n là số năm đầu tư
Ứng dụng trong sinh học
Cấp số nhân được sử dụng để mô tả sự phát triển dân số, khi quần thể tăng trưởng theo tỷ lệ nhất định.Ví dụ. Một loại vi khuẩn được nuôi cấy trong ống nghiệm, cứ 20 phút lại phân đôi một lần. Nếu ban đầu có 200 vi khuẩn, tính số lượng vi khuẩn có trong ống nghiệm sau 2 giờ.
Cấp số nhân là một khái niệm quan trọng với ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực thực tế. Hy vọng với bài viết này, bạn đã hiểu rõ hơn về lý thuyết, công thức, và cách áp dụng cấp số nhân vào thực tiễn.
Nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào về phương trình đường tròn hoặc các chủ đề toán học khác, hãy để lại bình luận dưới đây hoặc liên hệ với chúng tôi để được giải đáp!