Các hàm số lượng giác - Toán 11

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Sau bài viết nhỏ này, các em phải thuộc được các tính chất cơ bản của các hàm số lượng giác $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$, $\cot x$

Các thông tin cụ thể nằm trong bảng sau

$y=\sin x$	$y=\cos x$	$y=\tan x$	$y=\cot x$
TXĐ: $D=\mathbb{R}$	TXĐ: $D=\mathbb{R}$	TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash\{\frac{\pi}{2}+k\pi\}$	TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash\{k\pi\}$
TGT: $[-1;1]$	TGT: $[-1;1]$	TGT: $\mathbb{R}$	TGT: $\mathbb{R}$
Hảm số lẻ	Hàm số chẵn	Hàm số lẻ	Hàm số lẻ
$T=2\pi$	$T=2\pi$	$T=\pi$	$T=\pi$
Đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ	Đồ thị đối xứng qua trục $Oy$	Đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ	Đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ

Lưu ý. 

+) Hàm $\displaystyle \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$

+) Hàm $\displaystyle \cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$

CHU KỲ CỦA MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Chu kỳ là gì? 

Một hàm số $y=f(x)$ xác định trên $D$, hàm số $y=f(x)$ được gọi là tuần hoàn nếu có một số $T\ne 0$ thoả mọi $x\in D$ thì $x+T,x-T\in D$ và $f(x+T)=f(x)$

Số $T$ nhỏ nhất thoả mãn điều kiện phía trên người ta gọi là chu kỳ của hàm số $y=f(x)$

1. Chu kỳ của các hàm số lượng giác cơ bản

+) Hàm số $y=\sin x, y=\cos x$ có chu kỳ $T=2\pi$

+) Hàm số $y=\tan x,y=\cot x$ có chu kỳ $T=\pi$

2. Mở rộng

+) Hàm số $y=\sin(ax+b)$ có chu kỳ $T=\dfrac{2\pi}{|a|}$

+) Hàm số $y=\cos(ax+b)$ có chu kỳ $T=\dfrac{2\pi}{|a|}$

+) Hàm số $y=\tan(ax+b)$ có chu kỳ $T=\dfrac{\pi}{|a|}$

+) Hàm số $y=\cot(ax+b)$ có chu kỳ $T=\dfrac{\pi}{|a|}$

Ví dụ. Hàm số $y=\cos(3x+\pi)$ có chu kỳ là bao nhiêu?

Giải

Áp dụng mở rộng phía trên ta có chu kỳ của hàm số $y=\cos(3x+\pi)$ là: $T=\dfrac{2\pi}{|3|}=\dfrac{2\pi}{3}$

Ví dụ. Hàm số $\displaystyle y=-2\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{2}\right)$ có chu kỳ bằng bao nhiêu?

Giải

Dễ thấy $a=\dfrac{1}{2}$. Áp dụng mở rộng trên ta có chu kỳ: $T=\dfrac{2\pi}{|\frac{1}{2}|}=4\pi$

3. Chu kỳ hàm tổng

Ví dụ. 

Hàm số $y=\sin 2x+\cos 3x$ có chu kỳ là bao nhiêu

Giải

+) Dễ thấy hàm số $y=\sin 2x$ có chu kỳ $T_1=\pi$

+) Hàm số $y=\cos 3x$ có chu kỳ $T_2=\dfrac{2\pi}{3}$

Vậy hàm số $y=\sin 2x+\cos 3x$ có chu kỳ $T=2\pi$

Tags: #Toán 11