Bài toán lãi suất - Toán 12
"Lãi kép" là kỳ quan thứ 8 của loài người. Người hiểu nó sẽ kiếm được tiền từ nó, không hiểu nó sẽ mất tiền cho nó.
Công thức lãi đơn
$$\boxed{S_n=A(1+nr)}$$ trong đó
- $S_n$ là tổng số tiền sau $n$ kì
- $A$ là số tiền ban đầu
- $r$ là lãi suất theo kì
- $n$ là số kì
Công thức lãi kép
$$\boxed{S_n=A(1+r)^n}$$ trong đó
- $S_n$ là tổng số tiền sau $n$ kì
- $A$ là số tiền ban đầu
- $r$ là lãi suất theo kì
- $n$ là số kì
Quy tắc 72:
Thời gian để tiền tăng gấp 2 lần = 72 : lãi suất
Lãi kép liên tục
Dựa vào công thức "lãi kép", cho số kì tiến ra vô cùng (tức thời gian tính lãi mỗi kì cực nhỏ), ta sẽ thu được công thức lãi kép liên tục.
Thông thường công thức "lãi kép" liên tục được áp dụng cho các bài toán tăng trưởng dân số, tăng trưởng của vi khuẩn,...
$$\boxed{S_n=Ae^{nr}}$$ trong đó
- $S_n$ là số dân (vi khuẩn) sau $n$ kì
- $A$ là số dân (vi khuẩn) ban đầu
- $r$ là tỉ lệ tăng trưởng theo kì
- $n$ là số kì
Vay vốn, trả góp
Có hai trường hợp:
+ Vay vốn trả góp: Tức là bạn vay một khoảng tiền và trả hàng tháng một khoảng cố định cho đến khi hết nợ.
hoặc
+ Gửi tiết kiệm một khoản tiền, rút tiền mỗi tháng một khoảng cố định cho khi hết tiền tiết kiệm.
Tuy nhiên, về cơ bản 2 trường hợp này là 1: nếu bạn nợ tiền ngân hàng, thì bạn được gọi là vay ngân hàng. Nếu bạn gửi tiết kiệm ngân hàng (hiểu theo nghĩa trên tức là ngân hàng đang vay bạn).
$$\boxed{S_n=A(1+r)^n-\frac{X}{r}[(1+r)^n-1]}$$ trong đó
- $S_n$ là số tiền còn lại sau $n$ kì
- $A$ là số tiền vay ban đầu
- $X$ là số tiền phải trả mỗi kì
- $r$ là lãi suất theo kì)
- $n$ là số kì
Nhận xét: Nếu $S_n=0$ tức là ta đã trả hết nợ hoặc rút hết tiền tiết kiệm.
Gửi tiết kiệm hàng tháng
Bài toán phía trên là gửi tiết kiệm một lần và rút tiền hàng tháng cho đến khi hết, bài toán này là mỗi tháng gửi một khoảng tiết kiệm $X$, hỏi sau $n$ tháng thì thu được bao nhiêu, dĩ nhiên là có lãi suất rồi.
Việc gửi tiết kiệm vào đầu mỗi tháng hay cuối mỗi tháng sẽ có ảnh hưởng đến số tiền ta nhận được, do vậy ta chia ra làm hai trường hợp
Gửi đầu tháng
$$\boxed{S_n=\frac{X}{r}[(1+r)^n-1](1+r)}$$ trong đó
- $S_n$ là tổng số tiền sau $n$ kì
- $X$ là số tiền gửi mỗi kì
- $r$ là lãi suất theo kì
- $n$ là số kì
Gửi cuối tháng
$$\boxed{S_n=\frac{X}{r}[(1+r)^n-1]}$$ trong đó
- $S_n$ là tổng số tiền sau $n$ kỳ (tháng)
- $X$ là số tiền gửi mỗi kỳ (tháng)
- $r$ là lãi suất theo kỳ (tháng)
- $n$ là số kỳ (tháng)
Tăng lương
Giả sử lương khởi điểm là $A$ mỗi tháng, cứ sau mỗi $t$ tháng thì lương tăng thêm $r\%$, hỏi sau $n$ tháng thì tổng số tiền nhận được là bao nhiêu.
Gọi $k$ là số bậc lương, khi đó $k$ bằng phần nguyên của $\frac{n}{t}$. Sẽ xảy ra 2trường hợp:
+ Trường hợp $n$ chia hết cho $t$ ($k=\frac{n}{t}$) ta có
$$\boxed{S_n=\frac{At}{r}[(1+r)^k-1]}$$
trong đó
- $S_n$ là tổng số tiền lương nhận được.
- $k$ là số bậc lương.
- $t$ là số tháng để tăng một bậc lương.
- $r$ là phần trăm lương tăng thêm sau mỗi bậc.
+ Trường hợp $n$ không chia hết cho $t$ ta tính thêm số tiền lương ở các tháng còn dư ra và cộng thêm vào.
Chú ý: Lãi suất của các bài toán được đề cập ở trên đều cố định, nếu mỗi kỳ lãi suất lại thay đổi, vấn đề sẽ trở nên phức tạp hơn. Chúng ta có thể kết hợp các lãi suất, kỳ lấy lãi khác nhau để tính toán bình thường.
Tags: #Toán 12
