Cực trị của hàm số - Toán 12
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Yêu cầu:
+ Ôn lại công thức tính đạo hàm
+ Tính đơn điệu của hàm số
CÁC ĐỊNH NGHĨA
Định nghĩa. Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $D$ và $x_0\in D$
+) $x_0$ được gọi là một điểm cực đại của hàm số $f(x)$ nếu tồn tại một khoảng $(a;b)$ chứa điểm $x_0$ sao cho $(a;b)\subset D$ và $$f(x)<f(x_0),\forall x\in (a;b)\setminus \{x_0\}.$$ Khi đó $f(x_0)$ được gọi là giá trị cực đại của hàm số $f(x)$
+) $x_0$ được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số $f(x)$ nếu tồn tại một khoảng $(a;b)$ chứa điểm $x_0$ sao cho $(a;b)\subset D$ và $$f(x)>f(x_0),\forall x\in (a;b)\setminus \{x_0\}.$$ Khi đó $f(x_0)$ được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số $f(x)$
2. Các bước tìm cực trị của hàm số
2.1. Cách 1
Bước 1. Tìm $f'(x)$
Bước 2. Tìm các điểm $x_i$ mà $f'(x_i)=0$ hoặc không tồn tại đạo hàm (hàm số vẫn liên tục)
Bước 3. Lâp bảng xét dấu $f'(x)$ (bảng biến thiên)
Bước 4. Dựa vào bảng xét dấu kết về luận cực trị
2.2. Cách 2
Đối với cách 2 này thì áp dụng cho các hàm số mà có thể tìm được đạo hàm cấp 2
Bước 1. Tìm $f'(x)$
Bước 2. Tìm các điểm $x_i$ mà $f'(x_i)=0$
Bước 3. Tìm đạo hàm cấp 2 $y''$
Bước 4. Kết luận
- Nếu $y''(x_i) < 0$ thì $x_0$ là điểm cực đại
- Nếu $y''(x_0) > 0$ thì $x_0$ là điểm cực tiểu
3. Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số $y=2x^3-6x+2$
Cách 1
Ta có $y'=6x^2-6$
$\displaystyle y'=0\Leftrightarrow 6x^2-6=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=-1\\x=1 \end{array}\right.$
Ta có bảng xét dấu
\begin{array}{l|lllllll} x & -\infty & & -1 & & 1 & & +\infty\\ \hline y' & & + & 0 & - & 0 & + & \end{array}
Kết luận.
+) Tại vị trí $x=-1$, dấu của $y'$ chuyển từ + sang -, nghĩa là đồ thị của hàm
số đi lên rồi lại đi xuống tức là $x=-1$ là điểm cực đại, còn $y=6$
là giá trị cực đại.
+) Tại vị trí $x=1$, dấu của $y'$ chuyển từ - sang +, nghĩa là đồ thị của hàm
số đi xuống rồi lại đi lên tức là $x=1$ là điểm cực tiểu, còn $y=-2$ là giá trị cực tiểu.
Cách 2
Ta có $y'=6x^2-6$
$\displaystyle y'=0\Leftrightarrow 6x^2-6=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=-1\\x=1 \end{array}\right.$
Ta lại có $y''=12x$
Khi đó $y''(-1)=-12< 0$ nên $x=-1$ là điểm cực đại, còn $y=6$ là giá trị cực đại.
Ví dụ 2. Tìm cực trị của hàm số $y=x^4-2x^2=1$
Cách 1
Ta có $y'=4x^3-4x$
$\displaystyle y'=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=-1\\x=0\\x=1 \end{array}\right.$
Ta có bảng xét dấu
\begin{array}{l|lllllllll} x & -\infty & & -1 & & 0 & & 1 & & +\infty\\ \hline y' & & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + & \end{array}
Kết luận
+) Tại $x=-1,x=1$ là các điểm cực tiểu.
+) Tại $x=0$ là điểm cực đại.
Cách 2
Ta có $y'=4x^3-4x$
$\displaystyle y'=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=-1\\x=0\\x=1 \end{array}\right.$
$y''=12x^2-4$
+) Tại $x=-1,x=1$, $y''>0$ nên là các điểm cực tiểu.
+) Tại $x=0$, $y''<0$ nên là điểm cực đại.
Tham khảo thêm một số bài viết:
- Tính đơn điệu của hàm số
- Bài toán cô lập tham số m
- Xét tính đơn điệu của hàm số bậc 3 có tham số m
- Bài tập chủ đề Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị hàm số
Tags: #Toán 12
