Xét tính đơn điệu của hàm số - Toán 12
1. Các bước xét tính đơn điệu của một hàm số
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2. Tìm $f'(x)$, cho $f'(x)=0$, tìm nghiệm (hoặc các điểm mà $f(x)$ không xác định)
Bước 3. Lập bảng xét dấu $f'(x)$
Bước 4. Kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Chú ý. Nếu hàm số đồng biến thì từ trái sang phải dáng đồ thị đi lên, nếu hàm số nghịch biến thì từ trái sang phải dáng đồ thị đi xuống.
2. Tính đơn điệu của hàm số bậc 3
Ví dụ 1. Xét tính đơn điệu của hàm số $y=x^3-2x^2+x+1$
Giải
+) Tập xác định: $\mathscr D=\mathbb R$
+) $y'=3x^2-4x+1$
$y'=0 \Leftrightarrow 3x^2-4x+1=0$
$\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=1\\ x=\frac{1}{3}\end{array}\right.$
+) Bảng xét dấu $y'$
\begin{array}{l|lllllll} x & -\infty & & \frac{1}{3} & & 1 & & +\infty\\ \hline y' & & + & 0 & - & 0 & + & \end{array}
+) Từ bảng xét dấu $y'$ ta có
Hàm số đồng biến trên các khoảng $\displaystyle \left(-\infty;\frac{1}{3} \right)$ và $(1;+\infty)$
Hàm số nghịch biến trên khoảng $\displaystyle \left(\frac{1}{3};1 \right)$
3. Tính đơn điệu của hàm số trùng phương
Ví dụ 2. Xét tính đơn điệu của hàm số $y=x^4-2x^2+3$
Giải.
+) Tập xác định $\mathscr D= \mathbb R$
$y'=4x^3-4x$
$y'=0\Leftrightarrow 4x^3-4x=0$
$\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\ x=1 \\ x=-1 \end{array}\right.$
+) Bảng xét dấu $y'$
\begin{array}{l|lllllll} x & -\infty & & -1 & & 0&&1 & & +\infty\\ \hline y' & & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + & \end{array}
+) Từ bảng xét dấu ta có
Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-1;0)$ và $(2;+\infty)$
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty;-1)$ và $(0;1)$
4. Tính đơn điệu hàm $\displaystyle y=\frac{ax+b}{cx+d}$
Ví dụ 3. Xét tính đơn điệu của hàm số $\displaystyle y=\frac{x-1}{2x+3}$
Giải.
+) Tập xác định $\displaystyle \mathscr D=\mathbb R \setminus \left\{-\frac{3}{2} \right\}$
$\displaystyle y'=\frac{5}{(2x+3)^2}$
Bảng xét dấu
\begin{array}{l|lllllll} x & -\infty && -\frac{3}{2} & & +\infty\\ \hline y' & & + & \parallel & + \end{array}
Dễ thấy $y'>0$ với $\forall x$ thuộc tập xác định
Do đó, hàm số luôn đồng biến trên các khoảng $\displaystyle \left(-\infty;-\frac{3}{2} \right)$ và $\displaystyle \left(-\frac{3}{2};+\infty \right)$
Tham khảo thêm một số bài viết:
Tags: #Toán 12
