Phương pháp cô lập tham số - Toán 12
PHƯƠNG PHÁP CÔ LẬP THAM SỐ $m$
Một trong những dạng bài toán khá hay gặp trong phần đơn điệu của hàm số là bài toán tìm tham số m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng cho trước. Có nhiều kỹ thuật để xử lý và trong bài viết này sẽ nói đến kỹ thuật cô lập tham số $m$
1. Lý thuyết
Bài toán tổng quát
Cho hàm số $f(x,m)$ (với $m$ là tham số). Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số đồng biến, nghịch biến trên $D$
Ta cần phải nhớ tính chất sau
$\displaystyle g(m)\ge f(x),\forall x\in D \Leftrightarrow m\ge \max_D f(x)$
$\displaystyle g(m)\le f(x),\forall x\in D \Leftrightarrow m\le \min_D f(x)$
2. Ví dụ cho hàm bậc 3
Ví dụ 1. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $\displaystyle y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+(m-1){{x}^{2}}+(2m-3)x-\frac{2}{3}$ đồng biến trên $\left( 1;+\infty \right)$
Giải
$y'={{x}^{2}}+2(m-1)x+(2m-3)$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in \left( 1;+\infty \right)$
$\displaystyle \Leftrightarrow {{x}^{2}}+2(m-1)x+(2m-3)\ge 0,\forall x\in \left( 1;+\infty \right)$
Bây giờ ta sẽ sử dụng kỹ thuật cô lập $m$, tức là đưa toàn bộ $m$ về một vế, vế còn lại là chứa $x$
$\displaystyle \Leftrightarrow m\ge \frac{-{{x}^{2}}+2x+3}{2x+2},\forall x\in \left( 1;+\infty \right)$
$\displaystyle \Leftrightarrow m\ge \underset{\left[ 1;+\infty \right)}{\mathop{\max }}\,\left( \frac{-{{x}^{2}}+2x+3}{2x+2} \right)=1$
Vậy $m\ge 1$.
3. Ví dụ cho hàm bậc 4 trùng phương
Ví dụ 2. Tìm các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}-3m+1$ đồng biến trên $(1;2)$
Giải
$y'=4{{x}^{3}}-4mx$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in (1;2)$
$\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-4mx\ge 0,\forall x\in (1;2)$
Bây giờ ta sử dụng kỹ thuật cô lập $m$, lưu ý là ta có thể rút gọn bớt $x$ được, vì $x\in (1;2)$ luôn dương
$\Leftrightarrow m\le {{x}^{2}},\forall x\in (1;2)$
$\displaystyle \Leftrightarrow m\le \min_{[1;2]} \left( x^2 \right)=1$
Vậy $m\le 1$.
Tham khảo thêm một số bài viết:
- Tính đơn điệu của hàm số
- Cực trị của hàm số
- Xét tính đơn điệu của hàm số bậc 3 có tham số m
- Bài tập chủ đề Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị hàm số
Tags: #Toán 12
