Trong một số trường hợp tìm nguyên hàm mà không tính trực tiếp bằng công
thức hay qua các bước phân tích ta vẫn không giải được chúng ta có thể sử
dụng phương pháp nguyên hàm đổi biến số cụ thể như sau:
Phương pháp đổi biến số loại 1
Ta có chú ý: Tích phân
$\int\limits_a^b {f\left( x \right)} .dx$ chỉ phụ thuộc vào biểu thức
f(x), cận a, b chứ không phụ thuộc vào biến số. Tức
là:
$\int\limits_a^b {f\left( x \right)} .dx = \int\limits_a^b {f\left( t
\right)} .dt = \int\limits_a^b {f\left( t \right)} .dt$
Định lí. Nếu
i) Hàm số $x = u(t)$ có đạo hàm liên tục, đơn điệu trên đoạn
$\left[ {\alpha ,\beta } \right]$.
ii) Hàm số hợp $f[u(t)]$ xác định trên đoạn
$\left[ {\alpha ,\beta } \right]$.
iii)
$u\left( \alpha \right) = a$, $u\left( \beta \right) = b$.
thì $\int\limits_a^b {f(x).dx} = \int\limits_\alpha ^\beta
{f\left[ {u\left( t \right)} \right]} .u'\left( t \right).dt$
Phương pháp đổi biến số (loại 1)
Bước 1. Đặt $x=u(t)$, xác định
$\alpha$, $\beta$
Bước 2. Thay vào công thức
$$\boxed{\int\limits_a^b {f(x).dx} = \int\limits_\alpha ^\beta
{f\left[ {u\left( t \right)} \right]} .u'\left( t \right).dt}$$.
Các trường hợp cơ bản sử dụng đổi biến dạng 1
Biểu thức dưới dấu tích phân có chứa:
1. $\sqrt {{a^2} - {b^2}{x^2}}$ hoặc $\frac{1}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}{x^2}}
}}$ thử đặt $x = \frac{a}{b}\sin t$.
2. $\sqrt {{b^2}{x^2} - {a^2}} $ hoặc $\frac{1}{{\sqrt {{b^2}{x^2} - {a^2}}
}}$ thử đặt $x = \frac{a}{{b\sin t}}$.
3. $\frac{1}{{{a^2} + {b^2}{x^2}}}$ thử đặt $x = \frac{a}{b}\tan t$.
4. $\sqrt {x\left( {a - bx} \right)} $ đặt $x = \frac{a}{b}{\sin
^2}t$
Ví dụ:
Ví dụ 1. Tìm nguyên
hàm $$I=\int{\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}dx}$$
$\displaystyle
I=\int{\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}dx}=x\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}-\int{xd\left(
\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}} \right)}$ (nguyên hàm từng phần)
$\displaystyle =x\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}-\int{x\cdot
\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}dx}$
$\displaystyle =x\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}-\int{\frac{\left(
{{x}^{2}}+{{a}^{2}}
\right)-{{a}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}dx}$
$\displaystyle =x\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}-\int{\left(
\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}-\frac{{{a}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}
\right)dx}$
$\displaystyle
=x\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}-\int{\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}dx+\int{\frac{{{a}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}dx}}$
$\displaystyle
=x\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}-I+\int{\frac{{{a}^{2}}\left(
x+\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}} \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}\left(
x+\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}} \right)}dx}$
Nhận xét: $\displaystyle \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}
\right)'=\frac{x+\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}$
Do đó
$\displaystyle
I=x\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}-I+{{a}^{2}}\int{\frac{d\left(
x+\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}} \right)}{\left(
x+\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}} \right)}}$
$\displaystyle 2I=x\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}+{{a}^{2}}\ln \left|
x+\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}} \right|+{{C}_{1}}$
$\displaystyle
I=\frac{1}{2}x\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}+\frac{{{a}^{2}}}{2}\ln \left|
x+\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}} \right|+C,\left( C=\frac{1}{2}{{C}_{1}}
\right)$
Ví dụ 2. Tìm nguyên
hàm $$\displaystyle \int{\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}dx}$$
Với cách làm hoàn toàn tương tự, ta cũng có
$$\displaystyle
\int{\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}dx}=\frac{1}{2}x\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}-\frac{{{a}^{2}}}{2}\ln
\left| x+\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}} \right|+C$$
Phương pháp đổi biến số loại 2
Nếu tích phân có dạng
$\int\limits_a^b {f\left[ {u\left( x \right)} \right]} .u'\left( x
\right).dx$
Bước 1. Đặt:
$u = u\left( x \right) \Rightarrow du = u'\left( x \right).dx$
Bước 2. Đổi cận: $x = b \Rightarrow {u_2} = u(b)$, $x = a \Rightarrow {u_1} =
u(a)$
Áp dụng công thức: $\boxed{\int\limits_a^b {f\left[ {u\left( x \right)} \right]} .u'\left( x
\right).dx = \int\limits_{{u_1}}^{{u_2}} {f\left( u \right)}
.du}$
Một số dạng cơ bản thường gặp khi đổi biến số loại 2
Biểu thức trong dấu tích phân có chứa:
1. Lũy thừa thì ta thử đặt u bằng biểu thức bên trong của biểu thức có
chứa lũy thừa cao nhất.
2. Căn thức thì ta thử đặt u bằng căn thức.
3. Phân số thì ta thử đặt u bằng mẫu số.
4. cosx.dx thì ta thử đặt u = sinx.
5. sinx.dx thì ta thử đặt u = cosx.
6. thì ta thử đặt u = tanx.
7. thì ta thử đặt u = cotx.
8. $\frac{dx}{x}$ và chứa lnx thì ta thử đặt u = lnx.
Ví dụ
Nguyên hàm đổi biến số các hàm có chứa lũy thừa
Ví dụ 1.1. Tìm nguyên hàm
$\displaystyle I=\int{{{(2x+1)}^{5}}dx}$
Giải.
Đặt
$u=2x+1\Rightarrow du=2dx$ hay
$\displaystyle dx=\frac{du}{2}$. Khi đó nguyên hàm I được viết lại
$\displaystyle
I=\int{{{u}^{5}}\frac{du}{2}}=\frac{1}{2}\int{{{u}^{5}}du}=\frac{1}{2}\cdot
\frac{1}{6}{{u}^{6}}+C=\frac{{{u}^{6}}}{12}+C$
$\displaystyle I=\frac{{{(2x+1)}^{6}}}{12}+C$
Ví dụ 1.2. Tìm nguyên hàm
$\displaystyle I=\int{x{{({{x}^{2}}+1)}^{4}}dx}$
Giải.
Ta đặt
$u={{x}^{2}}+1\Rightarrow du=2xdx$ hay
$\displaystyle xdx=\frac{du}{2}$. Khi đó nguyên hàm I được viết lại
$\displaystyle
I=\int{{{u}^{4}}\frac{du}{2}}=\frac{1}{2}\int{{{u}^{4}}du}=\frac{1}{2}\cdot
\frac{1}{5}{{u}^{5}}+C=\frac{{{u}^{5}}}{10}+C$
$\displaystyle I=\frac{{{({{x}^{2}}+1)}^{5}}}{10}+C$
2. Nguyên hàm đổi biến số các hàm có chứa căn
Ví dụ 2.1. Tìm nguyên hàm
$\displaystyle I=\int{x\sqrt{5-3{{x}^{2}}}dx}$
Giải.
Ta đặt
$u=5-3{{x}^{2}}\Rightarrow du=-6xdx$ hay $\displaystyle xdx=\frac{du}{-6}$.
Khi đó nguyên hàm $I$ được viết lại
$\displaystyle
I=\int{\sqrt{u}\frac{du}{-6}}=-\frac{1}{6}\int{\sqrt{u}du}=-\frac{1}{6}\int{{{u}^{\frac{1}{2}}}du}=-\frac{1}{6}\frac{{{u}^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}+C=-\frac{1}{9}{{u}^{\frac{3}{2}}}+C$
$\displaystyle I=-\frac{1}{9}{{(5-3x)}^{\frac{3}{2}}}+C$
Nếu xuất hiện
$\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}\xrightarrow{{}}$.Đặt $x=a\sin t$ hoặc $x=a\cos t$
Ví dụ 2.2. Tìm
$\displaystyle \int{\sqrt{4-{{x}^{2}}}dx}$
Đặt $\displaystyle x=2\sin t,t\in \left[ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}
\right]$
$ \displaystyle \Rightarrow \left\{ \begin{align} & t=\arcsin
\frac{x}{2} \\ & dx=2\cos tdt \\ \end{align} \right.$
Khi đó
$\int{\sqrt{4-{{\left( 2\sin t \right)}^{2}}}}2\cos tdt=2\int{\sqrt{4\left(
1-{{\sin }^{2}}t \right)}}\cos tdt$
$\displaystyle =2.2\int{\sqrt{1-{{\sin }^{2}}t}}\cos tdt=4\int{\cos t.\cos
tdt}=4\int{{{\cos }^{2}}t}dt$
$\displaystyle =4\int{\frac{1+\cos 2t}{2}dt=2\int{\left( 1+\cos 2t
\right)dt}}=2\left( t+\frac{\sin 2t}{2} \right)+C$
$\displaystyle 2t+\sin 2t+C=2\arcsin \frac{x}{2}+\sin \left( 2\arcsin
\frac{x}{2} \right)+C$
3. Nguyên hàm đổi biến số của các hàm số lượng giác
Ví dụ 3.1. Tìm nguyên hàm
$\displaystyle I=\int{\cos (3x+1)dx}$
Giải.
Ta đặt
$u=3x+1\Rightarrow du=3dx$ hay
$\displaystyle dx=\frac{du}{3}$. Khi đó nguyên hàm I được viết lại
$\displaystyle I=\int{\cos u}\frac{du}{3}=\frac{1}{3}\int{\cos
udu}=\frac{1}{3}\sin u+C$
$\displaystyle I=\frac{1}{3}\sin (3x+1)+C$
Ví dụ 3.2. Tìm nguyên hàm
$\displaystyle I=\int{{{\sin }^{3}}x\cos xdx}$
Giải.
Ta đặt
$u=\sin x\Rightarrow du=\cos xdx$. Khi đó nguyên hàm $I$ được viết lại
$\displaystyle I=\int{{{u}^{3}}du}=\frac{{{u}^{4}}}{4}+C$
$\displaystyle I=\frac{{{\sin }^{4}}x}{4}+C$
Ví dụ 3.3. Tìm nguyên hàm
$\displaystyle \int{\frac{2\sin x}{1+\cos x}dx}$
Giải.
Đặt
$u=1+\cos x\Rightarrow du=-\sin xdx$ hay $\sin xdx=-du$.
Khi đó nguyên hàm được viết lại
$\displaystyle \int{\frac{-2\text{d}u}{u}=-2\int{\frac{1}{u}du}=-2\ln
\left| u \right|+C=-\frac{1}{2}}\ln \left| 1+\cos x \right|+C$
4. Nguyên hàm đổi biến số các hàm phân thức hữu tỷ
Ví dụ 4.1. Tìm nguyên hàm
$\displaystyle \int{\frac{{{x}^{3}}}{1+{{x}^{2}}}dx}$
Giải.
Đặt
$u=1+{{x}^{2}}\Rightarrow du=2xdx$ hay
$\displaystyle xdx=\frac{du}{2}$
Dễ thấy
$u=1+{{x}^{2}}\Rightarrow {{x}^{2}}=u-1$
Khi đó nguyên hàm đã cho được viết lại thành
$\displaystyle
\int{\frac{{{x}^{3}}}{1+{{x}^{2}}}dx}=\int{\frac{{{x}^{2}}.xdx}{1+{{x}^{2}}}}=\int{\frac{\left(
u-1 \right)du}{u}}$
$\displaystyle =\int{\left( 1-\frac{1}{u} \right)du}=u-\ln \left| u
\right|+C=\left( 1+{{x}^{2}} \right)-\ln \left( 1+{{x}^{2}} \right)+C$
Ví dụ 4.2. Tìm nguyên hàm
$\displaystyle \int{\frac{{{\left( x+1
\right)}^{3}}}{{{x}^{2}}+2x-3}dx}$
Giải.
Đặt
$u={{x}^{2}}+2x-3\Rightarrow du=2(x+1)dx$ hay
$\displaystyle (x+1)dx=\frac{du}{2}$
Dễ thấy
$u={{x}^{2}}+2x-3=\left( {{x}^{2}}+2x+1 \right)-4={{(x+1)}^{2}}-4$ hay
${{(x+1)}^{2}}=u+4$
Khi đó nguyên hàm đã cho được viết lại thành
$\displaystyle \int{\frac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( x+1
\right)}{{{x}^{2}}+2x-3}dx}=\int{\frac{u+4}{u}\cdot
\frac{du}{2}}=\frac{1}{2}\int{\left( 1+\frac{4}{u} \right)du}$
$\displaystyle =\frac{1}{2}\left( u+4\ln \left| u \right|
\right)+C=\frac{1}{2}\left[ \left( {{x}^{2}}+2x-3 \right)+4\ln \left|
{{x}^{2}}+2x-3 \right| \right]+C$
Tham khảo thêm bài viết:
