Giới hạn của dãy số - công thức và cách giải chi tiết
Bài viết trình bày Hướng dẫn chi tiết về chủ đề giới hạn của dãy số, cung
cấp các công thức cơ bản, ví dụ minh họa và cách giải các bài toán ứng
dụng giúp bạn nắm chắc kiến thức
 |
| Ảnh minh họa |
Nội dung chính (Body Content)
1. Dãy số có giới hạn 0
a. Định nghĩa.
Ta nói dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ có giới hạn là $0$ khi $n$ dần tới vô cực nếu $\left| {{u}_{n}} \right|$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi
Ký hiệu $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=0$ hay $\lim {{u}_{n}}=0$
Một số dãy số có giới hạn đặc biệt
- $\displaystyle \lim \frac{1}{n}=0$
- $\displaystyle \lim \frac{c}{n}=0$ với $c$ là hằng số
- $\displaystyle \lim \frac{1}{{{n}^{k}}}=0$ với $k$ nguyên dương
- $\displaystyle \lim {{q}^{n}}=0$ nếu $\left| q \right|<1$
- $\displaystyle \lim \frac{P(n)}{Q(n)}=0$ với bậc của $P(n)<Q(n)$
2. Dãy số có giới hạn là vô cực (vô cùng)
a. Định nghĩa
Ta nói dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ có giới hạn $+\infty $ khi $n\to +\infty $ nếu ${{u}_{n}}$ có thể lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ một số hạng nào đó trở đi
Ký hiệu: $\lim {{u}_{n}}=+\infty $
Ta nói dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ có giới hạn $-\infty $ khi $n\to +\infty $ nếu $\lim \left( -{{u}_{n}} \right)=+\infty $
Ký hiệu $\lim {{u}_{n}}=-\infty $
b. Một số dãy số có giới hạn vô cực
- $\lim n=+\infty $
- $\lim {{n}^{k}}=+\infty $ với $k$ nguyên dương
- $\lim {{q}^{n}}=+\infty $ với $q>1$
c. Tính chất
- $\left\{ \begin{align} & \lim {{u}_{n}}=a \\ & \lim {{v}_{n}}=\pm \infty \\ \end{align} \right.\Rightarrow \lim \left( \frac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}} \right)=0$ (Hiểu nôm na, số mà chia cho vô cùng là ra $0$)
- $\left\{ \begin{align} & \lim {{u}_{n}}=a>0 \\ & \lim {{v}_{n}}=0 \\ & {{v}_{n}}>0,\forall n \\ \end{align} \right.\Rightarrow \lim \left( \frac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}} \right)=+\infty $
- $\left\{ \begin{align} & \lim {{u}_{n}}=a>0 \\ & \lim {{v}_{n}}=+\infty \\ \end{align} \right.\Rightarrow \lim \left( {{u}_{n}}{{v}_{n}} \right)=+\infty $
3. Các dạng bài tập
Dạng 1: Xác định giới hạn của dãy số bằng định nghĩa
Ví dụ 1: Chứng minh rằng $\lim \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} = 0$.
Lời giải
Xét dãy số $(u_n)$ có $u_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$. Giả sử h là số dương bé tuỳ ý cho trước. Ta có:
$ |u_n| = |\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}| = \frac{1}{\sqrt{n}} < h \iff \frac{1}{n} < h^2 \iff n > \frac{1}{h^2}$. Vậy với các số tự nhiên n lớn hơn
$\frac{1}{h^2}$ thì $|u_n| < h$.
Theo định nghĩa về dãy số có giới hạn 0, ta có: $\lim \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} = 0$.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng $\lim \frac{(-1)^n}{n^2} = 0$.
Lời giải
Xét dãy số $(u_n)$ có $u_n = \frac{(-1)^n}{n^2}$. Giả sử h là số dương bé tuỳ ý cho trước. Ta có:
$ |u_n| = |\frac{(-1)^n}{n^2}| = \frac{1}{n^2} < h \iff \frac{1}{n} < \sqrt{h} \iff n > \frac{1}{\sqrt{h}}$. Vậy với các số tự nhiên n lớn hơn
$\frac{1}{\sqrt{h}}$ thì $|u_n| < h$.
Suy ra $\lim \frac{(-1)^n}{n^2} = 0$.
Dạng 2: Tính giới hạn hữu hạn của dãy số bằng định lí
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
a) $\lim(5-\frac{2}{n^3})$
b) $\lim (4-\frac{2}{n})(5+\frac{1}{3^n})$
Lời giải
a) $\lim(5-\frac{2}{n^3}) = \lim 5 - \lim \frac{2}{n^3} = 5 - 0 = 5$.
b) $\lim (4-\frac{2}{n})(5+\frac{1}{3^n}) = (\lim 4 - \lim \frac{2}{n})(\lim 5 + \lim \frac{1}{3^n}) = (4 - 0)(5 + 0) = 20$.
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:
a) $\lim \frac{4n+2}{3n+4}$
b) $\lim \frac{-5n+1}{n^2}$
c) $\lim \frac{1}{n^2 + 1}$
d) $\lim (6-\frac{5}{4^n})$
Lời giải
a) $\frac{4}{3}$. b) 0. c) 0. d) 6.
Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số có dạng $\frac{\infty }{\infty };\frac{a}{\infty }$
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
a) $\lim \frac{2+\frac{1}{n}}{2^n}$
b) $\lim \frac{-3n+2}{4}$
c) $\lim \frac{-3+\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^2}}$
d) $\lim \frac{2n+1}{-3n+4}$
c) $\lim \frac{-3+\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^2}}$
d) $\lim \frac{2n+1}{-3n+4}$
Lời giải
a) Vì $\lim (2+\frac{1}{n}) = \lim 2 + \lim \frac{1}{n} = 2 + 0 = 2$ và $\lim 2^n = +\infty$ nên $\lim \frac{2+\frac{1}{n}}{2^n} = 0$.
b) Vì $\lim (-3n + 2) = \lim [(-3) \cdot n] = -\infty$ và $4 > 0$ nên
$\lim \frac{-3n+2}{4} = -\infty$
c) Vi $\lim (-3+\frac{1}{n}) = -3< 0$; $\lim \frac{1}{n^2} = 0$ và $\frac{1}{n^2} > 0 \forall n \in N^*$ nên $\lim \frac{-3+\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^2}} = -\infty$.
d) $\lim \frac{2n+1}{-3n+4} = \lim \frac{2+\frac{1}{n}}{-3+\frac{4}{n}} = \frac{2}{-3}$.
Ví dụ 2: Cho hai dãy số $(u_n)$, $(v_n)$ với $u_n = 3-\frac{4}{n+1}$, $v_n = 8-\frac{5}{3n^2 + 2}$. Tính:
a) $\lim u_n$, $\lim v_n$;
b) $\lim(u_n + v_n)$, $\lim (u_n – v_n)$, $\lim(u_n v_n)$, $\lim \frac{u_n}{v_n}$.
Lời giải
a) $\lim u_n = \lim (3-\frac{4}{n+1}) = \lim 3 - \lim \frac{4}{n+1} = 3$; $\lim v_n = \lim (8-\frac{5}{3n^2 + 2}) = \lim 8 - \lim \frac{5}{3n^2 + 2} = 8$
b) $\lim(u_n + v_n) = \lim u_n + \lim v_n = 3 + 8 = 11$
$\lim (u_n - v_n) = \lim u_n - \lim v_n = 3-8 = -5$;
$\lim (u_n v_n) = \lim u_n \cdot \lim v_n = 3 \cdot 8 = 24$; $\lim \frac{u_n}{v_n} = \frac{\lim u_n}{\lim v_n} = \frac{3}{8}$.
Dạng 4: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Ví dụ 1: Tính các tổng sau:
a) $M = 2 + \frac{2}{5} + \frac{2}{5^2} + ... + \frac{2}{5^n} + ...$
b) $N = 3 - \frac{3}{4} + \frac{3}{4^2} - ... + (-1)^{n-1} \frac{3}{4^n} + ...$
Lời giải
a) Các số hạng của tổng lập thành cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = 2, q = \frac{1}{5} < 1$ nên
$M = 2 + \frac{2}{5} + \frac{2}{5^2} + ... + \frac{2}{5^n} + ... = \frac{2}{1-\frac{1}{5}} = \frac{5}{2}$
b) Các số hạng của tổng lập thành cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = 3, q = -\frac{1}{4}, |q| < 1$ nên
$N = 3 - \frac{3}{4} + \frac{3}{4^2} - ... + (-1)^{n-1} \frac{3}{4^n} + ... = \frac{3}{1 - (-\frac{1}{4})} = \frac{12}{5}$
Ví dụ 2: Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn:
a) $1 - \frac{1}{5} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{5^3} + ... + \frac{1}{5^{n-1}} + ...$
b) $2 + \frac{2}{3} + \frac{2}{3^2} + ... + \frac{2}{3^{n-1}} + ...$
Lời giải
a) $1 - \frac{1}{5} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{5^3} + ... + \frac{1}{5^{n-1}} + ... = \frac{1}{1 - (-\frac{1}{5})} = \frac{5}{6}$
b) $2 + \frac{2}{3} + \frac{2}{3^2} + ... + \frac{2}{3^{n-1}} + ... = \frac{2}{1 - \frac{1}{3}} = 3$
Dạng 5: Ứng dụng thực tế
Ví dụ 1: Một mẫu chất phóng xạ $^{210}_{84}Po$ có khối lượng ban đầu $m_0 = 42(mg)$, nhưng cứ sau một
khoảng thời gian $T = 138$ ngày thì khối lượng chất đó giảm đi một nửa (T được gọi là chu kì bán rã). Gọi $u_n$ là khối lượng còn lại của mẫu chất phóng xạ sau n chu kì bán rã.
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số $(u_n)$.
b) Tính giới hạn của dãy số $(u_n)$ và cho biết ý nghĩa của giới hạn đó.
Lời giải
a) Vì cứ sau 1 chu kì bán rã thì khối lượng mẫu chất phóng xạ giảm một nửa nên $(u_n)$ là cấp số
nhân với $u_1 = 21$ và công bội $q = \frac{1}{2}$.
Khi đó, số hạng tổng quát của dãy số $(u_n)$ là: $u_n = 42 \cdot (\frac{1}{2})^n$.
b) Ta có: $\lim u_n = \lim 42 \cdot (\frac{1}{2})^n = 42 \cdot \lim (\frac{1}{2})^n = 42 \cdot 0 = 0$. Từ giới hạn đó, ta rút ra được ý nghĩa: Khi $n$ càng dần tới vô cực thì khối lượng còn lại của mẫu chất phóng xạ càng dần về 0, nghĩa là sau một khoảng thời gian đủ dài thì khối lượng còn lại của mẫu chất phóng xạ là rất nhỏ (đến mức không đáng kể).
Ví dụ 2: Tại một nhà máy, người ta đo được rằng 80% lượng nước sau khi sử dụng được xử lí và tái sử dụng. Với $100m^3$ ban đầu được sử dụng lần đầu tại nhà máy, khi quá trình xử lí và tái sử dụng lặp lại mãi mãi, nhà máy sử dụng được tổng lượng nước là bao nhiêu?
Lời giải
$100 + 100 \cdot 0.8 + 100 \cdot (0.8)^2 + 100 \cdot (0.8)^3 + ... = \frac{100}{1 - 0.8} = 500 (m^3)$.
Qua bài viết này, hy vọng bạn đã nắm được các công thức cơ bản của giới hạn dãy số, các dạng bài tập thường gặp và ứng dụng trong thực tế. Đừng ngần ngại để lại câu hỏi hoặc chia sẻ bài viết nếu bạn thấy hữu ích!
Nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào về phương trình đường tròn hoặc các chủ đề toán học khác, hãy để lại bình luận dưới đây hoặc liên hệ với chúng tôi để được giải đáp!
Qua bài viết này, hy vọng bạn đã nắm được các công thức cơ bản của giới hạn dãy số, các dạng bài tập thường gặp và ứng dụng trong thực tế. Đừng ngần ngại để lại câu hỏi hoặc chia sẻ bài viết nếu bạn thấy hữu ích!
Nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào về phương trình đường tròn hoặc các chủ đề toán học khác, hãy để lại bình luận dưới đây hoặc liên hệ với chúng tôi để được giải đáp!
Tham khảo thêm bài viết:
Tags: #Toán 11
