XÁC SUẤT - Tổng ôn thi tốt nghiệp
XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
1. Các khái niệm ban đầu
Không gian mẫu
Không gian mẫu là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra với một phép thử và được ký hiệu là $\Omega$; Số phần tử của tập hợp không gian mẫu ký hiệu là $n(\Omega)$
Chú ý: Một số kết quả sau được sử dụng:
+ Gieo đồng xu n lần thì số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega)=2^n$
+ Gieo con súc sắc n lần thì số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega)=6^n$
Biến cố
Biến cố là một tập con của không gian mẫu.
Chú ý:
+ Tập rỗng ($\varnothing$) được gọi là biến cố không (thể xảy ra).
+ Tập $\Omega$ được gọi là biến cố chắc chắn (xảy ra).
Phép toán trên các biến cố
+ Biến cố "A hoặc B" gọi là hợp của hai biến cố A và B. Ký hiệu $A\cup B$. Xảy ra khi A hoặc B xảy ra.
+ Biến cố "A và B" được gọi là giao của hai biến cố A và B. Kí hiệu: $A\cap B$ hoặc $A.B$. Xảy ra khi cả A và B đều xảy ra.
Đặc biệt: Nếu $A\cap B=\varnothing$ thì ta nói hai biến A và B xung khắc
Biến cố đối
Tập hợp $\Omega\backslash A$ được gọi là biến cố đối của $A$, ký hiệu là $\bar{A}$
2. Xác suất của biến cố
Định nghĩa. Xác suất của biến cố có thể hiểu là một số thực đại diện cho khả năng xảy ra của biến cố đó.
Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Khi đó ta gọi tỷ số $\displaystyle \frac{n(A)}{n(\Omega)}$ là xác suất của biến cố A, ký hiệu $P(A)$.
$$P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega)}$$
Tính chất của xác suất
- $P(\varnothing)=0;P(\Omega)=1$
- $0\le P(A)\le 1$, với mọi biến cố A
- Nếu $A$ và $B$ xung khắc thì $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$. (Công thức cộng xác suất)
Với mọi biến cố A. Ta có $$P(\bar{A})=1-P(A)$$
$A$ và $B$ là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi $$P(A.B)=P(A).P(B)$$ (Công thức nhân xác suất)
Lưu ý: $A.B$ chính là giao hai biến cố A và B đã định nghĩa ở phần 1.
Ví dụ 1. Gieo ngẫu nhiên một đồng tiên cân đối đông chất 2 lần. Tính xác suất của các biến cố sau
a) $A$:"Mặt sấp xuất hiện hai lần"
b) $B$: "Mặt sấp xuất hiện đúng một lần"
c) $C$: "Mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần"
Giải.
a) Không gian mẫu $\Omega=\{SS;SN;NN;NS\}$. Suy ra $n(\Omega)=4$
$A=\{SS\}$ suy ra $n(A)=1$
Suy ra: $\displaystyle P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\frac{1}{4}$
b) Không gian mẫu $\Omega=\{SS;SN;NN;NS\}$. Suy ra $n(\Omega)=4$
$B=\{SN,NS\}$ suy ra $n(B)=2$
Suy ra: $\displaystyle P(B)=\frac{n(B)}{n(\Omega)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
c) Không gian mẫu $\Omega=\{SS;SN;NN;NS\}$. Suy ra $n(\Omega)=4$
$C=\{SS,SN,NS\}$ suy ra $n(C)=3$
Suy ra: $\displaystyle P(C)=\frac{n(C)}{n(\Omega)}=\frac{3}{4}$
Ví dụ 2. Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất của các biến cố sau
a) Hai con súc sắc có cùng số chấm
b) Tổng hai chấm trên hai con súc sắc bằng $8$
Giải
Gieo hai con súc sắc nên không gian mẫu: $n(\Omega)=6^2=36$
a) Gọi $A$ : "Hai con súc sắc có cùng số chấm"
$A=\{(1;1),(2;2),(3;3),(4;4),(5;5),(6;6)\}$, suy ra $n(A)=6$
Suy ra: $\displaystyle P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$
b) Gọi $B$ : "Tổng hai chấm trên hai con súc sắc bằng $8$"
$B=\{(2;6),(6;2),(3;5),(5;3),(4;4)\}$, suy ra $n(B)=5$
Suy ra: $\displaystyle P(B)=\frac{n(B)}{n(\Omega)}=\frac{5}{36}$
Ví dụ 3. Gieo một đồng xu cân đối đồng chất ba lần. Tính xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp
Giải
Gieo đồng xu ba lần nên không gian mẫu $n(\Omega)=2^3=8$
Gọi $A$ : "Ba lần gieo đồng xu có ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp"
Khi đó $\bar{A}$ : "Ba lần gieo không xuất hiện mặt sấp nào"
Nghĩa là ba lần gieo đều là mặt ngửa, suy ra $\bar{A}=\{NNN\}$ hay $n(\bar{A})=1$
Suy ra $\displaystyle P(\bar{A})=\frac{1}{8}$
Suy ra $\displaystyle P(A)=1-P(\bar{A})=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$
Vậy xác suất để ba lần gieo có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa là: $\displaystyle P(A)=\frac{7}{8}$
Nhận xét. Trong bài toán có cụm từ "ít nhất một ..." thì ta thường sử dụng biến cố đối. Phủ định của "ít nhất một ..." là "không có"
