Nhị thức Newton - Toán 11
Công thức nhị thức Newton
$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n C^k_na^{n-k}b^k=C^0_na^nb^0+C^1_na^{n-1}b^1$$
$$+\cdots +C^k_na^{n-k}b^k+\cdots+C^n_n b^n.$$
Vai trò của a và b là như nhau nên ta cũng có công thức tương đương
$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n C^k_na^{k}b^{n-k}$$
$$=C^0_nb^n+C^1_na^{1}b^{n-1}+\cdots +C^k_na^{k}b^{n-k}+\cdots+C^n_n a^n.$$
Nhận xét.
- Số các số hạng là n + 1
- Tổng của các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n
- Số hạng thức $k+1$ trong khai triển là $T_{k+1}=C_n^ka^{n-k}b^k$
- Các hệ số cách đều hai số hạng đầu và cuối bằng nhau
Một số khai triển nhị thức Newton hay sử dụng
$(1+x)^n=\sum_{k=0}^n C^k_n x^k$
=$C^0_n+C^1_n x+C^2_n x^2+\cdots+C^n_n x^n$
$(1-x)^n=\sum_{k=0}^n (-1)^k C^k_n x^k$
=$C^0_n-C^1_n x+\cdots+(-1)^n C^n_n x^n$
Nếu cho $x=1$ ở hai công thức trên thì ta thu được hệ quả sau
$$2^n=C^0_n+C^1_n+\cdots+C^{n-1}_n+C^n_n$$
$$0=C^0_n-C^1_n+\cdots+(-1)^k C^k_n+\cdots+(-1)^n C^n_n$$
Các ví dụ
Ví dụ 1. Trong khai triển ${{\left( x+2 \right)}^{n+3}}\,\,\,\left( n\in \mathbb{N} \right)$ có tất cả $16$ số hạng. Tìm $n$
Giải
Số các số hạng trong khai triển là $(n+3)+1=16\Leftrightarrow n=12$
Vậy $n=12$
Ví dụ 2. Tìm hệ số của $x^{12}y^{13}$ trong khai triển $(x+y)^{25}$
Giải
Theo công thức nhị thức Newton thì hệ số của $x^{12}y^{13}$ là $C^{13}_{25}$.
Ví dụ 3. Tìm hệ số của $x^3$ trong khai triển $(3x-4)^5$.
Giải
Ta có $(3x-4)^5=(3x+(-4))^5$. Theo công thức nhị thức Newton, số hạng chứa $x^3$ là $C^2_5(2x)^3(-4)^2=4320x^3$
Vậy hệ số của $x^3$ là $4320$.
Ví dụ 4. Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển $\displaystyle {{\left( {{x}^{2}}+\frac{2}{x} \right)}^{6}}$ $\left( x\ne 0 \right)$
Giải
Số hạng tổng quát (SHTQ): $\displaystyle {{T}_{k+1}}=C_{6}^{k}{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{k}}{{\left( \frac{2}{x} \right)}^{6-k}}$
$\displaystyle \Rightarrow {{T}_{k+1}}=C_{6}^{k}{{x}^{2k}}\frac{{{2}^{6-k}}}{{{x}^{6-k}}}$
$\displaystyle \Rightarrow {{T}_{k+1}}=C_{6}^{k}{{2}^{6-k}}{{x}^{2k-\left( 6-k \right)}}$
Yêu cầu bài toán tương ứng với: $2k-\left( 6-k \right)=0\Leftrightarrow 3k-6=0\Leftrightarrow k=2$
Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là: ${{T}_{3}}=C_{6}^{2}{{2}^{6-2}}={{2}^{4}}C_{6}^{2}$
Ví dụ 5. Tìm số tự nhiên $n$ thỏa $$C^0_{2n}+C^2_{2n}+\cdots+C^{2n}_{2n}=2^{2023}.$$
Giải. Đặt $A=C^0_{2n}+C^2_{2n}+\cdots+C^{2n}_{2n}$.
Đặt $B=C^1_{2n}+C^3_{2n}+\cdots+C^{2n-1}_{2n}$.
Dễ thấy $A+B=C^0_{2n}+C^1_{2n}+\cdots+C^{2n}_{2n}=(1+1)^{2n}=2^{2n}$.
$A-B=C^0_{2n}-C^1_{2n}+\cdots-C^{2n-1}_{2n}+C^{2n}_{2n}=(1-1)^{2n}=0$.
Suy ra $A=\frac{2^{2n}}{2}=2^{2023}\Leftrightarrow n=1012$
Ví dụ 6. Tính tổng $S=C^0_{2022}+C^1_{2022}+\cdots+C^{2022}_{2022}$.
Giải. Áp dụng nhị thức Newton cho $a=1,b=1$
ta được $(1+1)^{2022}=C^0_{2022}+C^1_{2022}+\cdots+C^{2022}_{2022}$
Vậy $S=2^{2022}$
Ví dụ 7. Tìm hệ số của số hạng chứa ${{x}^{16}}$ trong khai triển ${{\left( 1+{{x}^{3}}\left( 2+x \right) \right)}^{10}}$
Giải
${{\left( 1+{{x}^{3}}\left( 2+x \right) \right)}^{10}}={{\sum\limits_{p=0}^{10}{C_{10}^{p}{{1}^{10-p}}\left( {{x}^{3}}\left( 2+x \right) \right)}}^{p}}$
$=\sum\limits_{p=0}^{10}{C_{10}^{p}{{x}^{3p}}{{\left( 2+x \right)}^{p}}}=\sum\limits_{p=0}^{10}{C_{10}^{p}{{x}^{3p}}\sum\limits_{q=0}^{p}{C_{p}^{q}{{2}^{p-q}}{{x}^{q}}}}$
$=\sum\limits_{p=0}^{10}{\sum\limits_{q=0}^{p}{C_{10}^{p}C_{p}^{q}{{2}^{p-q}}{{x}^{3p}}{{x}^{q}}}}=\sum\limits_{p=0}^{10}{\sum\limits_{q=0}^{p}{C_{10}^{p}C_{p}^{q}{{2}^{p-q}}{{x}^{3p+q}}}}$
YCBT$\Leftrightarrow 3p+q=16$ với $0\le q\le p\le 10$
Suy ra $\left( p;q \right)\in \left\{ \left( 5;1 \right);\left( 4;4 \right) \right\}$
Suy ra hệ số cần tìm là: $C_{10}^{5}C_{5}^{1}{{2}^{5-1}}+C_{10}^{4}C_{4}^{4}{{2}^{4-4}}=20370$
Tham khảo thêm bài viết
- Tài liệu-Hoán vị. Chỉnh hợp. Tổ hợp. Xác suất
- Hai quy tắc đếm cơ bản
- Hoán vị. Chỉnh hợp. Tổ hợp. Xác suất
