Phương trình lượng giác - Toán 11
1. Hàm số lượng giác
| $y=\sin x$ | $y=\cos x$ | $y=\tan x$ | $y=\cot x$ |
|
|
|
|
2. Công thức nghiệm cơ bản
- $\sin x=\sin \alpha\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=\alpha+k2\pi\\x=(\pi-\alpha)+k2\pi\end{array}\right.$
- $\cos x=\cos \alpha\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=\alpha+k2\pi\\x=-\alpha+k2\pi\end{array}\right.$
- $\tan x=\tan\alpha \Leftrightarrow x=\alpha+k\pi$
- $\cot x=\cot\alpha \Leftrightarrow x=\alpha+k\pi $
Các trường hợp đặc biệt
Nghiệm đặc biệt của $\sin x$
- $\sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi$.
- $\sin x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k2\pi$.
- $\sin x=-1\Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi$.
Nghiệm đặc biệt của $\cos x$
- $\cos x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi$.
- $\cos x=1\Leftrightarrow x=k2\pi$.
- $\cos x=-1\Leftrightarrow x=\pi+k2\pi$.
3. Phương trình bậc nhất với $\sin x$ và $\cos x$
+) Phương trình bậc nhất với $\sin x$ và $\cos x$ có dạng $$a\sin x+b\cos x=c$$
Phương pháp giải:
+) Nếu $a^2+b^2<c^2$ thì phương trình vô nghiệm
+) Nếu $a^2+b^2<c^2$ thì phương trình vô nghiệm
+) Điều kiện có nghiệm của phương trình: $a^2+b^2\ge c^2$
Chia cho $\sqrt{a^2+b^2}$ và sau đó áp dụng công thức sau
Chia cho $\sqrt{a^2+b^2}$ và sau đó áp dụng công thức sau
- $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a$
- $\sin(a-b)=\sin a\cos b-\sin b\cos a$
- $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$
- $\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$
4. Phương trình bậc 2 đối với hàm số lượng giác
Phương pháp giải. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc 2, giải phương trình bậc 2 để đưa về phương trình lượng giác cơ bảnVí dụ 1. Giải phương trình ${{\sin }^{2}}x-3\sin x+2=0$
Giải
Đặt $t=\sin x$, khi đó $t\in \left[ -1;1 \right]$
Phương trình đã cho trở thành
${{t}^{2}}-3t+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=1(tm) \\
& t=2(l) \\ \end{align} \right.$
Với $t=1\Leftrightarrow \sin x=1$ (Đây là phương trình lượng giác cơ
bản dạng đặt biệt)
$\displaystyle \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left( k\in
\mathbb{Z} \right)$
Ví dụ 2. Giải phương trình $\cos 2x +\sin x=0$
Giải
Trước hết các em phải nhớ công thức nhân đôi của $\cos 2x$
$\cos 2x = 1-2\sin^2x$
Áp dụng vào bài toán
Từ phương trình ban đầu ta suy ra $\cos 2x +\sin x=0\Leftrightarrow
1-2\sin^2 x+\sin x$
$\Leftrightarrow -2\sin^2 x+\sin x+1=0$
Đặt $t=\sin x$. Khi đó $t\in \left[ -1;1 \right]$
Khi đó phương trình trở thành
$\displaystyle -2t^2+t+1=0 \Leftrightarrow
\left[\begin{array}{l}t=1(tm)\\t=-\dfrac{1}{2}(tm)
\end{array}\right.$
+) Với $\displaystyle t=1\Leftrightarrow \sin x=1\Leftrightarrow
x=\frac{\pi}{2}+k\pi (k\in\mathbb Z)$
5. Phương trình đẳng cấp (tức cùng bậc)
Phương pháp giải.
Trường hợp 1. Xét $\cos x=0\Rightarrow \sin x=\pm 1$. Thay vào phương
trình xem có phải nghiệm không.
Trường hợp 2: Xét $\cos x\ne 0$. Chia cho $\cos x$ có bậc cao nhất
Lưu ý. Hai công thức sau thường xuyên được sử dụng
- $\frac{1}{\cos^2 x}=\tan^2 x+1$
- $\frac{1}{\sin^2 x}=\cot^2 x+1$
