Xét tính đơn điệu hàm bậc 3 có chứa tham số - Toán 12
Yêu cầu:
+ Biết cách tìm $\min, \max$ của hàm số.
+ Biết áp dụng phương pháp cô lập m
1. Hàm bậc 3 đơn điệu trên $\mathbb R$
Cho hàm số bậc hai $f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c\left( a\ne 0 \right)$.
Khi đó
+) $f\left( x \right)> 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a >0 \\ & \Delta <0 \\ \end{align} \right.$
+) $f\left( x \right)< 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a <0 \\ & \Delta <0 \\ \end{align} \right.$
+) $f\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a>0 \\ & \Delta \le 0 \\ \end{align} \right.$
+) $f\left( x \right)\le 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a<0 \\ & \Delta \le 0 \\ \end{align} \right.$
Giải
Ta có $y'=-{{x}^{2}}+2mx-1$
Yêu cầu bài toán: $\leftrightarrow y'\le 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow -{{x}^{2}}+2mx-1\le 0,\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & -1 < 0(hn) \\ & {{\left( 2m \right)}^{2}}-4.1\le 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-4\le 0\Leftrightarrow -1\le m\le 1$
Vậy $m\in \left[ -1;1 \right]$
2. Hàm bậc ba đơn điệu trên một khoảng
Nếu không đơn điệu trên $\mathbb R$ mà đơn điệu trên một khoảng $D$ nào đó thì ta thường sử dụng phương pháp cô lập $m$
Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số
$y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx+1$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty
\right)$.
Giải
Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-6x+m$
Hàm số đồng biến trên khoảng
$\left( 0;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow {y}'=3{{x}^{2}}-6x+m\ge
0\text{ }\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$
$\displaystyle \Leftrightarrow m\ge -3{{x}^{2}}+6x=g\left( x
\right)\left( \forall x\in \left( 0;+\infty \right)
\right)\Leftrightarrow m\ge \underset{\left[ 0;+\infty
\right)}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)$
Mặt khác
${g}'\left( x \right)=-6x+6=0\Leftrightarrow x=1$
Ta có
$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0;\text{
}\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=-\infty
;\text{ }g\left( 1 \right)=3$
Do vậy
$\displaystyle \underset{\left[ 0;+\infty \right)}{\mathop{\max
}}\,g\left( x \right)=3 $. Do đó $m\ge 3$ là giá trị cần tìm.
Tham khảo thêm một số bài viết:
- Tính đơn điệu của hàm số
- Cực trị của hàm số
- Tiệm cận của đồ thị hàm số
- Tài liệu Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị hàm số
Tags: #Toán 12
