Processing math: 0%

Xét tính đơn điệu hàm bậc 3 có chứa tham số - Toán 12

Bài toán xét tính đơn điệu của hàm bậc ba có chứa tham số m

Yêu cầu: 

+ Biết cách tìm \min, \max của hàm số. 

+ Biết áp dụng phương pháp cô lập m

Toán 12

1. Hàm bậc 3 đơn điệu trên \mathbb R

Kiến thức cần nhớ
Cho hàm số bậc hai f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c\left( a\ne 0 \right)
Khi đó
+) f\left( x \right)> 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a >0 \\ & \Delta <0 \\ \end{align} \right.
+) f\left( x \right)< 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a <0 \\ & \Delta <0 \\ \end{align} \right.
+) f\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a>0 \\ & \Delta \le 0 \\ \end{align} \right.
+) f\left( x \right)\le 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a<0 \\ & \Delta \le 0 \\ \end{align} \right.

Ví dụ 1. Tìm giá trị của tham số m để hàm số \displaystyle y=-\frac{1}{3}{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}-x+1 nghịch biến trên \mathbb{R}
Giải
Ta có y'=-{{x}^{2}}+2mx-1
Yêu cầu bài toán: \leftrightarrow y'\le 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow -{{x}^{2}}+2mx-1\le 0,\forall x\in \mathbb{R}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & -1 < 0(hn) \\ & {{\left( 2m \right)}^{2}}-4.1\le 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-4\le 0\Leftrightarrow -1\le m\le 1
Vậy m\in \left[ -1;1 \right]

2. Hàm bậc ba đơn điệu trên một khoảng

Nếu không đơn điệu trên \mathbb R mà đơn điệu trên một khoảng D nào đó thì ta thường sử dụng phương pháp cô lập m

Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx+1 đồng biến trên khoảng \left( 0;+\infty \right).
Giải
Ta có: {y}'=3{{x}^{2}}-6x+m
Hàm số đồng biến trên khoảng \left( 0;+\infty \right) \Leftrightarrow {y}'=3{{x}^{2}}-6x+m\ge 0\text{ }\forall x\in \left( 0;+\infty \right)
\displaystyle \Leftrightarrow m\ge -3{{x}^{2}}+6x=g\left( x \right)\left( \forall x\in \left( 0;+\infty \right) \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{\left[ 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)
Mặt khác {g}'\left( x \right)=-6x+6=0\Leftrightarrow x=1
Ta có \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0;\text{ }\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=-\infty ;\text{ }g\left( 1 \right)=3
Do vậy \displaystyle \underset{\left[ 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=3 . Do đó m\ge 3 là giá trị cần tìm.

Next Post Previous Post
No Comment
Add Comment
comment url