Xét tính đơn điệu hàm bậc 3 có chứa tham số - Toán 12
Yêu cầu:
+ Biết cách tìm \min, \max của hàm số.
+ Biết áp dụng phương pháp cô lập m
1. Hàm bậc 3 đơn điệu trên \mathbb R
Cho hàm số bậc hai f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c\left( a\ne 0 \right).
Khi đó
+) f\left( x \right)> 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a >0 \\ & \Delta <0 \\ \end{align} \right.
+) f\left( x \right)< 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a <0 \\ & \Delta <0 \\ \end{align} \right.
+) f\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a>0 \\ & \Delta \le 0 \\ \end{align} \right.
+) f\left( x \right)\le 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a<0 \\ & \Delta \le 0 \\ \end{align} \right.
Giải
Ta có y'=-{{x}^{2}}+2mx-1
Yêu cầu bài toán: \leftrightarrow y'\le 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow -{{x}^{2}}+2mx-1\le 0,\forall x\in \mathbb{R}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & -1 < 0(hn) \\ & {{\left( 2m \right)}^{2}}-4.1\le 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-4\le 0\Leftrightarrow -1\le m\le 1
Vậy m\in \left[ -1;1 \right]
2. Hàm bậc ba đơn điệu trên một khoảng
Nếu không đơn điệu trên \mathbb R mà đơn điệu trên một khoảng D nào đó thì ta thường sử dụng phương pháp cô lập m
Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx+1 đồng biến trên khoảng \left( 0;+\infty
\right).
Giải
Ta có: {y}'=3{{x}^{2}}-6x+m
Hàm số đồng biến trên khoảng
\left( 0;+\infty \right) \Leftrightarrow {y}'=3{{x}^{2}}-6x+m\ge
0\text{ }\forall x\in \left( 0;+\infty \right)
\displaystyle \Leftrightarrow m\ge -3{{x}^{2}}+6x=g\left( x
\right)\left( \forall x\in \left( 0;+\infty \right)
\right)\Leftrightarrow m\ge \underset{\left[ 0;+\infty
\right)}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)
Mặt khác
{g}'\left( x \right)=-6x+6=0\Leftrightarrow x=1
Ta có
\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0;\text{
}\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=-\infty
;\text{ }g\left( 1 \right)=3
Do vậy
\displaystyle \underset{\left[ 0;+\infty \right)}{\mathop{\max
}}\,g\left( x \right)=3 . Do đó m\ge 3 là giá trị cần tìm.
Tham khảo thêm một số bài viết:
- Tính đơn điệu của hàm số
- Cực trị của hàm số
- Tiệm cận của đồ thị hàm số
- Tài liệu Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị hàm số
Tags: #Toán 12
