Phương trình lượng giác cơ bản - Toán 11
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Trong toàn bộ chương này thì ta ngầm hiểu $k\in \mathbb Z$.
1. Phương trình $\sin x=a$
Cho phương trình $\sin x=a\ (1)$.
- Nếu $|a|> 1$ thì phương trình $(1)$ vô nghiệm.
- Nếu $|a|\le 1$ khi đó tồn tại góc $\alpha$ để $\sin \alpha = a$. Ta có $$\sin x=a\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=\alpha+k2\pi\\ x=\left(\pi-\alpha \right) +k2\pi\end{array}\right.\quad (k\in \mathbb Z)$$
Ví dụ 1. Giải phương trình $\displaystyle \sin x=\frac{1}{2}$
Giải
Ta có $\displaystyle \sin x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \sin x=\sin \left(\frac{\pi}{6} \right)$
$\Leftrightarrow \displaystyle \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi \\ x=\left(\pi -\dfrac{\pi}{6} \right)+k2\pi \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \displaystyle \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi \\ x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi \end{array} \right.$
Ví dụ 2. Giải phương trình $\displaystyle \sin x=\frac{2}{3}$
Giải
Bấm máy casio bấm shift sin ra một số khá lẻ,
do vậy ta sẽ dùng arcsin
Ta có $\displaystyle \sin x=\frac{2}{3}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\arcsin\left(\dfrac{2}{3} \right)+k2\pi \\ x=\pi - \arcsin \left(\dfrac{2}{3} \right) +k2\pi \end{array} \right.$
Các trường hợp đặc biệt
- $\displaystyle \sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi$
- $\displaystyle \sin x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k2\pi$
- $\displaystyle \sin x=-1\Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi$
2. Phương trình $\cos x=a$
Cho phương trình $\cos x=a\ (2)$
- Nếu $|a|>1$ thì phương trình $(2)$ vô nghiệm.
- Nếu $|a|\le 1)$. Gọi $\alpha$ là một nghiệm của $(2)$, khi đó $$\cos x=a\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=\alpha+k2\pi\\ x=-\alpha+k2\pi\end{array}\right.\quad (k\in \mathbb Z)$$
Ví dụ 1. Giải phương trình $\displaystyle \cos x=\frac{1}{2}$
Giải
$\displaystyle \cos x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \cos x=\cos \left(\frac{\pi}{3} \right)$
$\displaystyle \left[\begin{array}{l}x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi \\ x=-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi \end{array}\right.$
Ví dụ 2. Giải phương trình $\displaystyle \cos x=\frac{2}{3}$
Giải
Bấm máy casio bấm shift cos ra một số khá lẻ, do
vậy ta sẽ dùng arccos
$\displaystyle \cos x=\frac{2}{3}\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=\arccos\left(\dfrac{2}{3} \right)+k2\pi \\ x=-\arccos\left(\dfrac{2}{3} \right)+k2\pi \end{array}\right.$
Các trường hợp đặc biệt
$\displaystyle \cos x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi$
$\displaystyle \cos x=1\Leftrightarrow x=k2\pi$
$\cos x=-1\Leftrightarrow x=\pi+k2\pi$
3. Phương trình $\tan x=a$
Cho phương trình $\tan x=a\ (3), (\cos x\ne 0)$. Nếu $\alpha$ là một nghiệm của $(3)$, khi đó $$\tan x=a\Leftrightarrow x=\alpha+k\pi \quad (k\in\mathbb Z)$$
Ví dụ 1. Giải phương trình $\tan x=1$
Giải
$\displaystyle \tan x=1\Leftrightarrow \tan x=\tan \left(\frac{\pi}{4} \right)$
$\displaystyle \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi$
Ví dụ 2. Giải phương trình $\tan x=3$
Giải
Bấm máy casio bấm shift tan ra một số khá lẻ, do
vậy ta sẽ dùng arctan
$\tan x=3\Leftrightarrow x=\arctan(3)+k\pi$
4. Phương trình $\cot x=a$
Cho phương trình $\cot x=a\ (4), (\sin x\ne 0)$. Nếu $\alpha$ là một nghiệm của $(4)$, khi đó $$\cot x=m\Leftrightarrow x=\alpha+k\pi \quad (k\in\mathbb Z)$$
Ví dụ 1. Giải phương trình $\cot x=-1$
Giải
$\displaystyle \cot x=-1\Leftrightarrow \cot x=\cot\left(\frac{-\pi}{4} \right)$
$\Leftrightarrow x=\frac{-\pi}{4}+k\pi$
Ví dụ 2. Giải phương trình $\cot x=-3$
Giải
Bấm máy casio bấm shift tan của
$\displaystyle -\frac{1}{3}$ (nghịch đảo của số $-3$) ra một số khá lẻ, do vậy ta sẽ dùng
arccot
$\cot x=-3\Leftrightarrow x=\textrm{arccot}(-3)+k\pi$
Tags: #Toán 11
